Função Afim:Gráfico e Definição

de uma Função AfimAutores: Rosana Maria Mendes

Karine Angélica de DeusIara Letícia Leite de OliveiraSimone Uchôas Guimarães

Ricardo Almeida SouzaColaborador:

José Antônio Araújo Andrade

Situação-problema 1

Uma família resolve realizar a instalação de uma linha telefônica em sua residência. Para tal, eles contratam a empresa Lig-Lig, que possui a seguinte tarifa:

Uma família resolve realizar a instalação de uma linha telefônica em sua residência. Para tal, eles contratam a empresa Lig-Lig, que possui a seguinte tarifa:

R$ 20,00 (taxa de assinatura mensal) mais R$ 0,50 por minuto.

Uma família resolve realizar a instalação de uma linha telefônica em sua residência. Para tal, eles contratam a empresa Lig-Lig, que possui a seguinte tarifa:

Após 4 meses de assinatura a família resolve verificar quais foram os gastos com o telefone fixo, organizando em uma tabela o valor pago (V) por mês:

R$ 20,00 (taxa de assinatura mensal) mais R$ 0,50 por minuto.

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

Minutos utilizados

Valor apagar

200min

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R

20 0,50 200 120,00V

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 2º mês foram utilizados 150 minutos:

Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R150min

20 0,50 200 120,00V

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 2º mês foram utilizados 150 minutos:

Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R150min $95,00R

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 2º mês foram utilizados 150 minutos:

No 3º mês foram utilizados 225 minutos:

Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R150min $95,00R225min

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 2º mês foram utilizados 150 minutos:

No 3º mês foram utilizados 225 minutos:

Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 2º mês foram utilizados 150 minutos:

No 3º mês foram utilizados 225 minutos:

No 4º mês foram utilizados 100 minutos:

Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R100min

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 2º mês foram utilizados 150 minutos:

No 3º mês foram utilizados 225 minutos:

No 4º mês foram utilizados 100 minutos:

Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R100min $70,00R

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

20 0,50 100 70,00V

O que dizer do comportamento do gráfico

dessa situação?

Minutos utilizados

Valor pago

Minutos utilizados

Valor pago

200min

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R225min

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R100min $70,00R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R100min $70,00R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R100min $70,00R0min $20,00R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R100min $70,00R0min $20,00R

Qual a função que descreve o comportamento do

gráfico?

Observe a relação entre os minutos utilizados e o valor a ser pago:

Observe a relação entre os minutos utilizados e o valor a ser pago:

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:20 0,50 200 120,00V

Observe a relação entre os minutos utilizados e o valor a ser pago:

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 2º mês foram utilizados 150 minutos:

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

Observe a relação entre os minutos utilizados e o valor a ser pago:

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 2º mês foram utilizados 150 minutos:

No 3º mês foram utilizados 225 minutos:

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

Observe a relação entre os minutos utilizados e o valor a ser pago:

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 2º mês foram utilizados 150 minutos:

No 3º mês foram utilizados 225 minutos:

No 4º mês foram utilizados 100 minutos:

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

20 0,50 100 70,00V

Observe a relação entre os minutos utilizados e o valor a ser pago:

Note que o valor a ser pago varia segundo a quantidade de minutos

gastos.

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 2º mês foram utilizados 150 minutos:

No 3º mês foram utilizados 225 minutos:

No 4º mês foram utilizados 100 minutos:

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

20 0,50 100 70,00V

Observe a relação entre os minutos utilizados e o valor a ser pago:

Note que o valor a ser pago varia segundo a quantidade de minutos

gastos.

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 2º mês foram utilizados 150 minutos:

No 3º mês foram utilizados 225 minutos:

No 4º mês foram utilizados 100 minutos:

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

20 0,50 100 70,00V

Logo, se for utilizado para representar os minutos utilizados, o valor a ser pago será:

x

Observe a relação entre os minutos utilizados e o valor a ser pago:

Note que o valor a ser pago varia segundo a quantidade de minutos

gastos.

Logo, se for utilizado para representar os minutos utilizados, o valor a ser pago será:

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:

No 2º mês foram utilizados 150 minutos:

No 3º mês foram utilizados 225 minutos:

No 4º mês foram utilizados 100 minutos:

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

20 0,50 100 70,00V

20 0,50V x

x

20 0,50V x

Observe que o valor a ser pago depende da quantidade de minutos utilizados.

20 0,50V x

( )x

Observe que o valor a ser pago depende da quantidade de minutos utilizados.

Logo, podemos reescrever a relação acima da seguinte forma:

20 0,50V x

( )x

Observe que o valor a ser pago depende da quantidade de minutos utilizados.

Logo, podemos reescrever a relação acima da seguinte forma:

20 0,50V x

( ) 20 0,50V x x

( )x

A função é um exemplo de lei de formação de uma Função Afim,

que pode ser generalizada da seguinte forma:

, sendo e números reais quaisquer.( )f x ax b a b

( )V x

Domínio da função( ) 20 0,50V x x

Domínio da função( ) 20 0,50V x x

Analisando a situação proposta temos que o domínio de é todo , uma vez que representa o número de minutos utilizados, e

este por sua vez nunca poderá ser negativo.

( )V x 0x x

Domínio da função

Analisando a situação proposta temos que o domínio de é todo , uma vez que representa o número de minutos utilizados, e

este por sua vez nunca poderá ser negativo.

Logo,

( ) 20 0,50V x x

( )V x 0x x

Domínio da função( ) 20 0,50V x x

Analisando a situação proposta temos que o domínio de é todo , uma vez que representa o número de minutos utilizados, e

este por sua vez nunca poderá ser negativo.

Logo,

( )V x 0x x

Imagem da função( ) 20 0,50V x x

Imagem da função( ) 20 0,50V x x

Analisando novamente a situação proposta temos sempre um correspondente a cada

elemento pertencente ao domínio.20y

Imagem da função( ) 20 0,50V x x

Analisando novamente a situação proposta temos sempre um correspondente a cada

elemento pertencente ao domínio.

Logo,

20y

Imagem da função

Analisando novamente a situação proposta temos sempre um correspondente a cada

elemento pertencente ao domínio.

Logo,

( ) 20 0,50V x x

20y

Domínio e Imagem da função( ) 20 0,50V x x

Domínio e Imagem da função( ) 20 0,50V x x

Exemplo 2:

Um grupo de amigos ao sair de uma festa resolvem voltar de táxi para casa.

Exemplo 2:

Um grupo de amigos ao sair de uma festa resolvem voltar de táxi para casa.

Ao entrar no táxi o motorista lhes informou sobre o possível valor a ser pago ao final da corrida.

Exemplo 2:

Um grupo de amigos ao sair de uma festa resolvem voltar de táxi para casa.

Ao entrar no táxi o motorista lhes informou sobre o possível valor a ser pago ao final da corrida.

O valor a ser cobrado inclui, R$ 3,00 fixo (bandeirada) mais, R$ 2,00 por quilômetro rodado.

Exemplo 2:

Os amigos ficaram curiosos em saber qual valor pagariam ao final da corrida, e começaram a pensar em algumas possibilidades.

Um deles acredita que para chegar ao destino percorrerá 2 km, logo, pagará:

Valor a pagar

Outro amigo acredita que para chegar ao destino percorrerá 3 km, logo, pagará:

Valor a pagar

Valor a pagar

3 2 2 7V

3 2 3 9V

Um terceiro amigo acredita que para chegar ao destino percorrerá 5 km, logo, pagará:

3 2 5 13V

Ao final da corrida o taxista informa aos amigos que eles percorreram 3,5 km.

Ao final da corrida o taxista informa aos amigos que eles percorreram 3,5 km.

Os amigos mais que depressa calculam o valor que deverão pagar ao taxista:

Ao final da corrida o taxista informa aos amigos que eles percorreram 3,5 km.

Os amigos mais que depressa calculam o valor que deverão pagar ao taxista:

3 2 3,5 10V

Ao final da corrida o taxista informa aos amigos que eles percorreram 3,5 km.

Os amigos mais que depressa calculam o valor que deverão pagar ao taxista:

Dessa forma, os amigos devem pagar R$ 10,00 ao taxista.

3 2 3,5 10V

Vamos analisar os cálculos dos amigos:

Vamos analisar os cálculos dos amigos:

Valor a pagar (V) = bandeirada + (valor por quilômetro percorrido) (quilômetro percorrido).

Vamos analisar os cálculos dos amigos:

Se percorrer 2 km:

Valor a pagar (V) = bandeirada + (valor por quilômetro percorrido) (quilômetro percorrido).

3 2 2 7V

Vamos analisar os cálculos dos amigos:

Se percorrer 2 km: Se percorrer 3 km: 3 2 3 9V

3 2 2 7V

Valor a pagar (V) = bandeirada + (valor por quilômetro percorrido) (quilômetro percorrido).

Vamos analisar os cálculos dos amigos:

Se percorrer 2 km: Se percorrer 3 km: Se percorrer 3,5 km: 3 2 3,5 10V

3 2 3 9V 3 2 2 7V

Valor a pagar (V) = bandeirada + (valor por quilômetro percorrido) (quilômetro percorrido).

Vamos analisar os cálculos dos amigos:

Se percorrer 2 km: Se percorrer 3 km: Se percorrer 3,5 km: Se percorrer km: 3 2V x

3 2 3,5 10V 3 2 3 9V 3 2 2 7V

x

Valor a pagar (V) = bandeirada + (valor por quilômetro percorrido) (quilômetro percorrido).

Vamos analisar os cálculos dos amigos:

Se percorrer 2 km: Se percorrer 3 km: Se percorrer 3,5 km: Se percorrer km:

Como o valor a pagar depende do quilômetro percorrido, podemos reescrever a expressão como:

3 2V x 3 2 3,5 10V

3 2 3 9V 3 2 2 7V

x

( )x

Valor a pagar (V) = bandeirada + (valor por quilômetro percorrido) (quilômetro percorrido).

Vamos analisar os cálculos dos amigos:

Se percorrer 2 km: Se percorrer 3 km: Se percorrer 3,5 km: Se percorrer km:

Como o valor a pagar depende do quilômetro percorrido, podemos reescrever a expressão como:

( ) 3 2V x x

3 2V x 3 2 3,5 10V

3 2 3 9V 3 2 2 7V

x

( )x

Valor a pagar (V) = bandeirada + (valor por quilômetro percorrido) (quilômetro percorrido).

Gráfico da Função: ( ) 3 2V x x

Gráfico da Função: ( ) 3 2V x x

Gráfico da Função: ( ) 3 2V x x

Gráfico da Função: ( ) 3 2V x x

Gráfico da Função: Quilômetr

o (km)

Valor a pagar (V)

2 7

( ) 3 2V x x

Gráfico da Função:Quilômetr

o (km)

Valor a pagar (V)

2 7

( ) 3 2V x x

Gráfico da Função: Quilômetr

o (km)

Valor a pagar (V)

2 7

( ) 3 2V x x

Gráfico da Função: Quilômetr

o (km)

Valor a pagar (V)

2 73 9

( ) 3 2V x x

Gráfico da Função:Quilômetr

o (km)

Valor a pagar (V)

2 73 9

3,5 10

( ) 3 2V x x

Gráfico da Função:Quilômetr

o (km)

Valor a pagar (V)

2 73 9

3,5 10

( ) 3 2V x x

Gráfico da Função:Quilômetr

o (km)

Valor a pagar (V)

2 73 9

3,5 10

( ) 3 2V x x

Gráfico da Função:Quilômetr

o (km)

Valor a pagar (V)

2 73 9

3,5 105 13

( ) 3 2V x x

Gráfico da Função:Quilômetr

o (km)

Valor a pagar (V)

2 73 9

3,5 105 13

( ) 3 2V x x

Gráfico da Função:Quilômetr

o (km)

Valor a pagar (V)

2 73 9

3,5 105 13

( ) 3 2V x x

Domínio da função( ) 3 2V x x

Domínio da função( ) 3 2V x x

Analisando a situação proposta temos que o

domínio de é todo , uma vez que representa a quilometragem percorrida, e este por sua vez deverá ser

sempre positivo.

( )V x 0x x

Domínio da função

Logo,

( ) 3 2V x x Analisando a situação proposta temos que o

domínio de é todo , uma vez que representa a quilometragem percorrida, e este por sua vez deverá ser

sempre positivo.

( )V x 0x x

Domínio da função

Analisando a situação proposta temos que o

domínio de é todo , uma vez que representa a quilometragem percorrida, e este por sua vez deverá ser

sempre positivo.

Logo,

( ) 3 2V x x

( )V x 0x x

Imagem da função( ) 3 2V x x

Analisando novamente a situação proposta temos

sempre um , correspondente a cada

elemento pertencente ao domínio.

Logo,

Imagem da função( ) 3 2V x x

Domínio e Imagem da função( ) 3 2V x x