Post on 20-Jun-2015
Função Função QuadráticQuadrátic
aa
Função Função QuadráticQuadrátic
aa
Função Quadrática
Vamos estudar a função quadrática
Qual é a expressão geral da função quadrática?
Vê a expressão!
A função quadrática é uma função real de variável real do tipo
0 e reais números são e , onde
2
acba
cbxaxxf
Com certeza que já sabes qual é o gráfico de uma função
quadrática?!
Ainda não chegaste lá?
Tens aqui uma pequena ajuda
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
Por exemplo: o gráfico de 22xxf
Vamos procurar algumas
propriedades do gráfico de uma
função quadrática.
Como vimos o gráfico da função
representa uma parábola.
Ao considerarmos vários valores para a
constante , obteremos um conjunto
ou família de parábolas.
a
Vê o exemplo!
Observa os gráficos da função
para igual a 3, 1, ½ e -1 2axxf a
O que acontece com o gráfico da função
quando a constante varia?aVê a animação e
descobre!
Conclusão!
O que acontece quando é positivo
e se aproxima de zero?
O que acontece quando é negativo
e se aproxima de zero?
a
Vê a animação e descobre!
a
Vê a animação e descobre!
Conclusão !
A parábola aproxima-se do
eixo de simetria.
Conclusão !
A parábola tende a aproximar-
se da recta perpendicular ao
eixo de simetria que contém
o vértice da parábola.
Ao considerarmos vários valores para
a constante , obteremos um
conjunto ou família de parábolas.
O que acontece com o gráfico da função
quando a constante varia?
Vê a animação e descobre!
Conclusão!
Para valores positivos de a
concavidade da parábola está
voltada para cima.
Para valores negativos de a
concavidade da parábola está
voltada para baixo.
a
a
Quando variamos os valores de a parábola sofre uma
translação segundo o vector OC.
Equação do Vértice de uma
ParábolaPara sabermos a equação do vértice da parábola
é útil transformar a expressão
na expressão
Assim temos que o vértice da parábola é
cbxax 2 khxa 2
kh,em que e . a
bh
2
a
bck
4
2
Demonstração!
Contradomínio!
Demonstração:
a
bc
a
bxa
a
bc
a
bx
a
bxa
cxa
bxa
cbxax
42
44
22
2
2
22
2
2
Zeros da função quadrática
Para determinar os zeros da função quadrática, ou seja, ver
para que valores de x é que
usamos a fórmula resolvente:
a
acbbx
2
42
02 cbxax
A existência de zeros na função quadrática está relacionada com o valor do binómio discriminante:
Temos três casos a considerar:
acb 42
042 acb
042 acb
042 acb
Se a equação
é impossível e, portanto, a função não tem zeros.
042 acb
a
acbbx
2
42
Se a função não tem zeros, toma o sinal de para qualquer valor de .
ax
x xf
de sinal a
Se a equação
só tem uma solução e,
portanto, a função só tem um zero.
042 acb
a
acbbx
2
42
Se a função tem um único zero, toma o sinal de para todos os
valores de , excepto para o valor em que se anula.
ax
x xf
de sinal a
1x
0 a de sinal
Se a equação
tem duas soluções e,
portanto, a função tem dois zeros.
042 acb
a
acbbx
2
42
Se a função tem dois zeros, toma o sinal contrário ao de em qualquer ponto
do intervalo cujos extremos são os seus zeros e o sinal de em
qualquer ponto exterior a esse intervalo.
a
a
x xf
de sinal a
1x
0 0
a de sinalde ao contrário sinal a
2x
Domínio da função quadráticaA função quadrática é uma função
polinomial e como tal o seu domínio é
Por outras palavras, o domínio da
função é
R
cbxaxxf 2 RD f
Contradomínio da função quadrática
O vértice da função quadrática é o ponto de coordenadas (h,k).
O contradomínio depende da concavidade da parábola:
• Voltada para cima
• Voltada para baixo
Recorda!
Qual é o contradomínio da seguinte função?
D’=[1,+ ∞ [
Em geral, D’= [k; + ∞[
em que K é a ordenada do vértice da parábola.
Qual é o contradomínio da seguinte função?
D’= ] -∞; -2 ]
Em geral, D’= ] -∞; k]
em que K é a ordenada do vértice da parábola.