PROF. CARLOS RUBERTO FRAGOSO JR. PROF. MARLLUS GUSTAVO F. P. DAS NEVES MOEDELAGEM E SIMULAÇÃO...

PROF. CARLOS RUBERTO FRAGOSO JR.PROF. MARLLUS GUSTAVO F. P. DAS NEVES

MOEDELAGEM E SIMULAÇÃO HIDROLÓGICA ESCOAMENTO

Tópicos• Importância do Escoamento• Tipos de Escoamento• Equações do escoamento não permanente ou equações

hidrodinâmicas– Equação da continuidade– Equação da quantidade de movimento ou equação

dinâmica• Simplificações das Equações de Saint Venant

– Onda cinemática– Propagação de cheias em rios

• O método Muskingum• O metodo de Pulz - reservatórios

Precipitação que não infiltra pode se acumular sobre a superfície e pode se movimentar sobre a superfície escoamento superficial

Outras formas de escoamento = subsuperficial, subterrâneo

Escoamento superficial é muito importante na hidrologia porque admite-se que é o responsável pelos picos dos hidrogramas (cheias)

Escoamento está relacionado à disponibilidade da água para usos múltiplos

Escoamento transporta sedimentos, matéria orgânica, nutrientes e organismos

Importância do Escoamento

• Escoamento superficial• Escoamento sub-superficial• Escoamento subterrâneo

Tipos de Escoamento na baciaTipos e características do Escoamento

Fase terrestre no ciclo hidrológico

Esc. superficial

Esc. sub-superficial

Esc. subterrâneo

Tipos e características do Escoamento

Para onde vai o escoamento superficial?

Escoamento até a rede de drenagem rios e canais Reservatórios

Fase terrestre no ciclo hidrológicoTipos e características do Escoamento

• Sub-superficial ?

• Superficial

• Subterrâneo

Tipos de escoamento baciaTipos e características do Escoamento

• Chuva, infiltração, escoamento superficial

• Chuva, infiltração, escoamento superficial, escoamento subterrâneo

Camada saturada

• Escoamento sub-superficial

Camada saturada

• Depois da chuva: Escoamento sub-superficial e escoamento subterrâneo

• Estiagem: apenas escoamento subterrâneo

Camada saturada

• Estiagem muito longa = rio secoRios intermitentes

Camada saturada

• Precipitação que atinge áreas impermeáveis, áreas com capacidade de infiltração limitadas, áreas de alta declividade,...

• Processo hortoniano escoamento superficial hortoniano– Intensidade de precipitação excede a

capacidade de infiltração• Escoamento superficial em áreas saturadas

– Saturação do horizonte superficial do solo• Fluxo direto (preferencial)

– Infiltração e percolação rápidas em macroporos (fendas, buracos de raízes, ...)

Geração de escoamento superficialTipos e características do Escoamento

Telhados Ruas Passeios

• Geração de escoamento superficial é quase imediata• Infiltração é quase nula

Áreas Impermeáveis

• Capacidade de infiltração é baixa

Gramados Solos Compactados Solos muito argilosos

Áreas de capacidade de infiltração limitadas

Infiltração

Escoamento

Precipitação

Infiltração

Intensidade da chuva x capacidade de infiltração

taçã

início do escoamento

Intensidade da chuva

Capacidade de infiltração

• Considere chuva com intensidade constante• Infiltra completamente no início • Gera escoamento no fim

taçã

volume infiltrado

Intensidade da chuva

taçã

volume escoadoIntensidade da chuva

volume infiltrado

Precipitação

Infiltração

Escoamento em áreas de solo saturado

Precipitação

Solo saturado

Precipitação

Solo saturado

Escoamento

E mesmo que as características do solo propiciem alta,a capacidade de infiltração a taxa de I é baixa

I (mm/h)

F (mm/h)

Q (mm/h)

Q = I – F

• Intensidade da precipitação é maior do que a capacidade de infiltração do solo

• Processo hortoniano (Horton, 1934)

Q (mm/h)

•Precipitação atinge áreas saturadas•Processo duniano (Dunne)

Fonte: Rampelloto et al. 2001

E isto tudo pode ocorrer na mesma bacia e no mesmo instante!

Resultado da interação de todos os componentes do ciclo hidrológico

HidrogramaRepresentação gráfica da vazão ao longo do tempo

Hidrograma

Hidrograma 1

Hidrograma 2

Hidrograma 3

Hidrograma 4

Hidrograma 5

Hidrograma 6

Hidrograma 7

Hidrograma 8

Hidrograma 9

Hidrograma 10

Hidrograma 11

Hidrograma 12

Hidrograma 13

Hidrograma 14

Hidrograma 15

Hidrograma 16

Formação do Hidrograma

Superficiale

Escoamento subterrâneo

Sub-superficial

1 – Início do escoamento superficial2 – Ascensão do hidrograma3 – Pico do hidrograma4 – Recessão do hidrograma5 – Fim do escoamento superficial6 – Recessão do escoamento subterrâneo

• Difuso x concentrado– Escoamento difuso ocorre na bacia, sobre

superfícies ou em pequenos canais efêmeros tem profundidade pequena e largura indefinida

– Escoamento concentrado ocorre em canais num rio, por exemplo, tem profundidade maior e largura definida

– Até onde o escoamento é considerado difuso vai depender da escala em que o fenômeno vai ser representado

• Outros– Escoamento num conduto pode estar sob pressão, mas

tem seção constante– Escoamento num lago sofre atuação de forças como a

do vento e de Coriolis (grandes lagos)

• Fundamentos dos escoamentos Mecânica dos fluidos e hidráulica (equações da continuidade, Euler, Navier-Stokes)– Retratam-se os processo nas 3 dimensões e no tempo

(caso geral)– Rios direção predominante longitudinal

equações unidimensionais de Saint Venant

ESCOAMENTO: MODELOS DE RIOS E RESERVATÓRIOS

Comportamento em rios e reservatórios

• Ocorre atenuação:– Armazenamento– Atrito (efeitos dinâmicos)

Hidrograma de entrada

Hidrograma de saída

Volume armazenado acumulado

Igual a este (sem Qlateral)

Pode haver o mesmo S para cotas Z diferentes

reservatórios

Relação biunívoca Z x S• Velocidade pequena• Linha d’água horizontal

reservatórios

Equações hidrodinâmicas• Hipóteses (Escoamento não permanente em

canais)– Escoamento unidimensional– Distribuição de pressão hidrostática

declividade menor que 10% (Baptista e Lara, 2010)

– Canal de baixa declividade menor que 15% (Fread, 1993 – handbook of hydrology)

– Fluido incompressível e homogêneo com vazão dada por Q (x,t) = V(x,t).A(x,t)

– Perda de carga no regime variado computada por uma equação de resistência do regime permanente e uniforme

– Funções contínuas em relação ao tempo t e ao espaço x

• Equação da continuidade• Volume de controle elementar de comprimento

dx escoamento entre as seções 1 e 2 x medida ao longo do canal, A a área molhada, y altura, profundidade ou tirante de água, B a largura da superfície livre, V a velocidade média na seção 1

Equações hidrodinâmicas

• Equação da continuidade• Equação integral

• Fluido incompressível

• Obs.: sem aporte lateral

dAnVρρdt

dAnVdt

• Equação da continuidade• A variação de volume é resultado de

uma modificação na superfície livrety

A (x,y)

B (x,y)

• Equação da continuidade• O fluxo na superfície de controle é

resolvido expandindo-se Vx.A na série de

Taylor

• Equação da continuidade• A equação resultante

• Canais com declividade fraca Vx pode ser considerada igual à V = Q/A (vel. média na seção)

q vazão lateral (Q por unidade de comprimento) negativa (influxo) e positiva (efluxo ou saída)

• Equação dinâmica• Forças

– Devido à pressão hidrostática nas seções 1 e 2

– Força gravitacional no sentido do escoamento

– Força de atrito nas paredes e no fundo do canal

• Equação dinâmica

xxap2p1 dAnVρVρdVt

• Equação dinâmica• Um processo semelhante ao da equação

da continuidade leva a:

• Ver Hidráulica básica de Rodrigo de Melo Porto, capítulo 14

VρAdxxy

SSA f0

f0 SSgxy

• As equações foram estabelecidas pela primeira vez por Adémas Jean-Claude Barré, conde de Saint Venant, engenheiro francês (1797-1886)

• Constituem um sistema de equações com duas incógnitas, em derivadas parcias de x e de t

f0 SSgxy

• Também são escritas como abaixo (continuidade e quantidade de movimento)

)SgA(Sxy

gAx/A)(Q

• Equação dinâmica significado dos termos

f0 SSgxy

)SgA(Sxy

gAx/A)(Q

Termos de inércia

Termo de pressão

Termo de gravidade

Termo de atrito

• Importância dos termos da equação dinâmica em rios– Determinada pela situação hidráulica do

curso d’água (declividade, largura da seção, ...)

– Henderson (1966) para rios com I0 > 0,02 m/m termos de inércia, em geral, muito pequenos, podendo ser desprezados força da gravidade preponderante

– Cunge (1980) ordem de grandeza dos termos de inércia = 10-5, enquanto dos termos de atrito e gravidade = 10-3

Simplificações das Equações de Saint Venant

0gASxy

Exemplo rio Kitakami (A=7.860 km2)

Máximo 1,5% Normal <1%

• Importância dos termos da equação dinâmica em rios

101,7gS

102Sxy

Termo de advecção e termode variação temporal da quantidade de movimento são muito pequenos frenteaos outros termos

Termo de pressão é pequeno

Exemplo rio Kitakami (A=7.860 km2)

• Importância dos termos da equação dinâmica em rios

• O que queremos representar com os modelos?

– Efeitos que ocorrem com a onda de cheia quando se propaga ao longo de um rio ou canal

– Que efeitos são esses? Ocorre atenuação e deslocamento devido ao:(a)Armazenamento tanto na calha normal

como nas áreas de inundação(b)Atrito com as superfícies do canal e difusão

devido ao gradiente de pressão

Hidrograma em A

Hidrograma em B

• Translação (deslocamento)

Hidrograma em A

Hidrograma em B

• Amortecimento

Hidrograma em AHidrograma em B

h em B (maré)

• Efeito de jusante

Onda cinemática e modelos de armazenamento

Permanente e não uniforme

• Voltando aos termos da equação dinâmica– Eles podem ser considerados como uma

representação de um gradiente ou declividade

-SS 0f

Não permanente e não uniforme

Permanente e uniforme

-SS 0f

• Voltando aos termos da equação dinâmica– Desprezando todos os termos de inércia

– Associando esta equação dinâmica à equação da continuidade base do modelo de difusão ou não inercial

– Aplicado quando não há grande variação temporal e espacial de V

-SS 0f

f0 S-Sxy

• Voltando aos termos da equação dinâmica– Desprezando também o termo de pressão

– Associando esta equação dinâmica à equação da continuidade base do modelo de onda cinemática

– se não há variação da linha d’água movimento uniforme (UM)

0f SS xy

-SS 0f

Não utilizam a equação dinâmica

)SgA(Sxy

gAx/A)(Q

Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada

)SgA(Sxy

gAx/A)(Q

)SgA(Sxy

gAx/A)(Q

• Critérios (Fread, 1993 – handbook of hydrology)– Modelos de onda cinemática e difusão: relação y x Q

biunívoca e o produto do tempo de ascensão do hidrograma pela declividade de fundo não seja pequeno

• Onda cinemática (Erro em relação aos modelos com equações completas)

(dinâm.) energia de linha da Decliv.(cinem.) energia de linha da Decliv.

qnE(%) 1,6

• Critérios (Fread, 1993 – handbook of hydrology)– Modelos de onda cinemática e difusão: relação y x Q

biunívoca e o produto do tempo de ascensão do hidrograma pela declividade de fundo não seja pequeno

• Difusão (Erro em relação aos modelos com equações completas)

(dinâm.) energia de linha da Decliv.(cinem.) energia de linha da Decliv.

qE(%) 0,60,7

φ'μ"

0,60,70r

φ'μ"

qnE(%)

Parâmetros importantes: grande variedades de valores possíveis

Canais de declividades suaves e ondas de cheia que sobem rapidamente TrS0 pequeno

modelos com equações completas de Saint Venant

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática

• Partindo de uma expressão do escoamento uniforme como a de Chézy

fhSRCV

-SRCV 0h

0hSRCVDesprezam-se Onda cinemática

• As duas equações juntas da Onda cinemática

– Como é possível MU (geralmente associado ao escoamento permanente) e uma variações de Q com x e de A com t?

0hSRCV

• A onda passa ...

• Durante e após sua passagem sem mudança na declividade da linha d’água (escoamento principal) não há desequilíbrio por causa de forças de pressão as forças de resistência se equilibram com a gravidade

0hSRCV (a)Relação

biunívoca entre Q e V e y

(b)Não biunívoca nas equações completas largura do laço indica importância relativa dos termos de inércia e pressão

0hSRCV

Relação Q = f(y) cota-descarga ou curva chave

(a)Esc. Não perman. Q para 2 para duas prof. Y onde de cheia em ascenção ou depleção influência do termo de aceleração local (1/g)(∂V/ ∂t)

0hSRCV

Relação Q = f(y) cota-descarga ou curva chave

(b)Nível máximo da água atingido não corresponde à máxima vazão, que ocorre antes dele

(c) Linha tracejada escoamento uniforme onda cinemática

Q = f(y) A = f(y) A = f(Q) e Q = f(A)

• Conceito de onda cinemática introduzido por Lighthill e Whitham (1955)

• Na equação da continuidade

• Por outro lado

Celeridade da onda cinemática

Só admite valores positivos (sentido da corrente)

Espaço percorrido em t

• Outras formas de escrever a equação

ou 0xQ

• Propriedades da onda cinemática

(a) Propaga-se somente pra jusante

(b) O aspecto não muda ao longo do percurso, não havendo atenuação da altura da onda

Percurso em t

• Onda cinemática não tem dispersão nem difusão (sem amortecimento)

• A onda é transladada sem sofrer alterações na forma

• Demonstração que o termo ∂V/∂A é sempre positivo a celeridade é superior à velocidade média do regime uniforme

(c) velocidade de propagação

d(VA)dAdQ

• Quando usar o modelo de onda cinemática?

–∂y/∂x desprezado não usar onde há efeito de jusante (canais próximos a lagos, barragens, estuários, estrangulamentos, oceanos ou rios maiores) força da gravidade preponderante escoamento unidirecional (montante para jusante)

• Quando usar o modelo de onda cinemática?

–Usados em modelos chuva-vazão (escoamento superficial) não são recomendados para canais, exceto quando o hidrograma ascende devagar, a declividade é moderada para íngreme e a atenuação do hidrograma é bastante pequena.

)SgA(Sxy

gAx/A)(Q

verifiquem

1) Montar o hidrograma de entrada no trecho

2) Propagá-lo2.1. Calcular y para cada Q (Manning)2.2. Calcular CK para cada y2.3. Calcular o tempo de viagem t =

1) Montagem o hidrograma de entrada no trecho

2) Propagação

• Propagação de cheias em rios

– Para escapar do trabalho com as equações completas (Saint Venant) modelos menos complexos para se propagar cheias em rios

– chamados modelos hidrológicos ou de armazenamento não levam em consideração e equação da QM

– Os modelos com equações completas modelos hidráulicos ou hidrodinâmicos

• Equação da QM substituída por uma do tipo:

S = f (I, Q, I’, Q’)

S = kQ S = K [xI +(1- x) Q]

S = /Q

Reservatório linear simples

Muskingum SSARR

Propagação de cheias em riosmétodos hidrológicos (armazenamento)

Não utilizam a equação dinâmica

)SgA(Sxy

gAx/A)(Q

• Baseiam-se nos conceitos de prisma de armazenamento e cunha de armazenamento

Declividade da linha d’água

I ≠ O

Continuidade

Relação

QIdtdS

1/n Qx1xIab

Se Qx1xIO

Muskingum

1nm e 1/na

O modelo Muskingum

• Desenvolvido por McCarthy em 1938 trabalhos e controle de cheias na bacia do rio Muskingum, EUA

• Baseia-se na equação da continuidade e relações aproximadas entre o armazenamento na calha e as vazões de entrada I e saída Q

• É do tipo concentrado no espaço

Continuidade

Relação

QIdtdS

S = K[xI +(1- x)Q]

Ascenção I > Q

Depleção Q > I

K = tempo de viagem da vazão de pico ao longo do trecho

X = fator de ponderação das vazões de entrada e saída(0 ≤ X ≤ 0,5)

Canais naturais 0 ≤ X ≤ 0,3

O modelo Muskingum

S = K[xI +(1- x)Q]

Sprisma = KQ

Scunha = Kx(I-Q)

• Tanto I quanto Q variam com o tempo para um intervalo de tempo Dt aproximados pela média aritmética dos valores do início e do fim do intervalo

• Rearranjando os termos

C1 + C2 + C3 = 1

t3t21t11t QCICICQ

X)K(1C ;

KXC 321

2II t1t1tt1tt

O modelo Muskingum

• K tempo médio de deslocamento da onda no trecho

• X ponderador entre as vazões de entrada e saída varia entre 0 e 0,5, com valor típico para muitas correntes naturais igual a 0,2

• K, X, It, It+1 e Qt são conhecidos

• K e t devem estar na mesma unidade, horas ou dias

O modelo Muskingum

• Os coeficientes C1 e C3 podem se tornar negativos de acordo com os valores dos parâmetros

– C1 negativo quando t/K é menor que 2X distância entre as seções é muito grande (valor alto de K) ou intervalo de tempo é muito pequeno evitar vazões negativas subdivide-se o trecho reduz o K de cada um ou se aumenta t

O modelo Muskingum

2XKΔt

• Os coeficientes C1 e C3 podem se tornar negativos de acordo com os valores dos parâmetros

– C3 negativo t/K é maior que 2(1-X) intervalo de tempo é muito grande evitar vazões negativas diminui-se o intervalo de tempo t

O modelo Muskingum

X)K(1C3

X)2(1C3

Para que os coeficientes da equação sejam positivos

t 2KX e 0

t X)-2K(1 e 0

)X1(KC3

Região válida

)X1(2K

Condições de estabilidade numérica

O modelo Muskingum

Faixa de validade dos parâmetros

X)2(1KΔt

Romper este limite t alto reduzir

Romper este limite K alto e a distância entre as seções alta criar subtrechos

O modelo Muskingum

K Diferença entre os centros de gravidade dos hidrogramas

• Determinação dos parâmetros K e X

X escolhido, geralmente, entre 0,1 e 0,3

O modelo Muskingum

Se houver dados Tradicional Método da Laçada o volume acumulado ∑S é grafado contra a vazão ponderada xI + (1-x)Q para vários valores de X

O gráfico que mais se aproximar de uma função linear é o que prever melhor o valor de X

o coeficiente angular da reta é então o valor de K

O modelo Muskingum

xI+(1-x)Q

X=X1 X= Xn

tg = K

Quando a inclinação mostra várias tendências K varia com a vazão sistema é não-linear

t1tt1t1t

S = K [xI +(1-x) Q]

Se houver dados Tradicional Método da Laçada

O modelo Muskingum

o gráfico armazenamento

versus vazão

ponderada

visualização do que

ocorre na cunha

o Início da enchente aumento do armazenamento segundo um gradiente íngreme

o Após o pico diminuição do armazenamento com gradiente menor e em sentido contrário

O modelo Muskingum

O melhor

KO modelo Muskingum

•Mínimos quadrados minimização quadrática da função de armazenamento

•Tende a dar maior peso aos maiores valores (vizinhança do pico)

2ii )SO(SCD

])QI(QI[K

IQQSoISoQX

)IQ(QI

QSoISoQ)ISoQSo(QIK

O modelo Muskingum

• Otimização de parâmetros Utilizar um dos métodos de otimização com restrições

• condições iniciais

Nash (do modelo Nash) do primeiro momento de uma função linear diferença entre os CGs

)I2mI2mQ1mQ2m(K

I.t=m1I ;

I.t=m2I ;

Q.t=m1Q ;

t.QQ2m

Do segundo momento

O modelo Muskingum

• Relação de momentos das funções Dooge (1982) Método considera o modelo linear e estima os parâmetros por características físicas

F41(3,05,0X

profundidade

Declividade do fundo Distância entre montante e jusante

Número de Froude

velocidade

O modelo Muskingum

Tópicos• Importância do Escoamento• Tipos de Escoamento• Equações do escoamento não permanente ou

equações hidrodinâmicas…

• Simplificações das Equações de Saint Venant…

• O método Muskingum• O método Muskingum-Cunge• O método Muskingum-Cunge-Todini

-SS 0f

O modelo de difusão

• despreza os termos de inércia do escoamento dinâmico pode ser usado onde não há grandes gradientes de velocidade

• considera os efeitos de jusante no escoamento de montante, como o próximo ao mar e confluência dos rios

• relação entre nível, vazão e declividade da linha d’água para uma seção de rio

Equação da continuidade

Equação dinâmica

fo SSdxdy

)SgA(Sxy

gAx/A)(Q

• A partir da equação dinâmica e usando Sf a partir da equação de Manning

fo SSdxdy

fSdxdZ

Qo = vazão de escoamento sem efeito de jusanteoo /S

• Positivo quando dZ/dx < 0

• Se dZ/dx = S0 (dy/dx = 0) escoamento uniforme S0 = Sf condição de onda cinemática

• Permite corrigir uma curva de descarga sujeita a efeito de jusante, função da declividade da linha d’água

• Aplicabilidade (PONCE et al., 1978) 30

oo /SdxdZ

Afluente a um rio maior

Afluente ao mar ou lago

• Exemplos

Reservatório 1Reservatório 2

Canal de ligação

Afluência da bacia 1Afluência da bacia 2

• Exemplos

Funções da seção de um rio

Armazenamento ou Onda Cinemática h1

Para valores de h2

Sem remanso

Com remanso

500000004,0 xSo

Sem efeito de jusante

ZA – ZB > 0,2 m

Com efeito de jusante

Obtida da forma seguinte:

1)Derivando a eq. da continuidade em relação a x e a eq. Dinâmica (modelo de difusão) em relação a t

2)Trabalhando em cima da derivada e K em relação a t

• Equação de convecção-difusão

Conhecida também como equação do calor

Os coeficientes dependem da vazão e da profundidade modelo não-linear

É necessário fornecer condições de contorno de montante e de jusante (regime subcrítico), além das condições iniciais

Pode-se utilizar diferenças finitas

Há uma forma de resolvê-la como modelo linear difusão linear•Celeridade = c•Difusividade = D•Translação e difusão•Não representa efeitos de jusante 0

Hidrograma em A

Hidrograma em B

O modelo Muskingum-Cunge

• Cunge (1980) o método Muskingum é equivalente à solução da onda cinemática com um esquema numérico de diferenças finitas

– Podemos aplicar um esquema de diferenças finitas no modelo de onda cinemática atingiremos um modelo semelhante ao Muskingum

• Assim fazendo, o que descobrimos?

– Difusão da onda de cheia resultante do uso do modelo Muskingum resultado de um erro numérico dependente dos intervalos de discretização utilizados nas derivadas do tempo e do espaço

• Cunge então propôs uma forma de estimar os valores de K e X para que a difusão causada pelo erro numérico se iguale à difusão real da onda de cheia

• O modelo de Muskingum passou a ser chamado modelo Muskingum-Cunge

Hidrograma em A

Hidrograma em B

• Para uma seção em um ponto específico xo

• Derivada total da vazão

• Para uma vazão constante

• Da equação da continuidade sem vazão lateral

Equação da continuidade, sem vazão lateral, transformada com base no conceito de que existe uma relação

biunívoca entre vazão e área (modelo de onda cinemática e armazenamento)

Esquema de segunda ordem

QQQQ nj

Esquema de primeira ordem

• Esquemas numéricos para a onda cinemática

nj QCQCQ 12

tVC Número de Courant

• Esquema de primeira ordem

nj QCQCQCQ 121

QQQQ nj

• Esquema de segunda ordem

tVC Número de Courant

• Arquivo Excel onda cinemática

• Ocorre difusão porque o esquema numérico não representa perfeitamente a equação

• Difusão numérica

• Exemplo onda cinemática

• Onda cinemática versus equação de difusão

Diferença

Cunge utilizou um esquema numérico de 4 pontos para discretizar esta equação

chegou numa equação semelhante à do modelo

Muskingum

tttt QCICICQ 32111

Modelo Muskingum equivalente a uma solução numérica da equação hiperbólica da onda cinemática

Diferença

Derivada no tempo

Ponderação entre duas diferenças adiantadas no tempo

Derivada no espaço

xQ j1j

Média entre duas diferenças adiantadas no espaço

Como já dito solução por métodos numéricos gera um amortecimento

artificial devido à discretização

Cunge (1969) expandiu por série Taylor os termos

numéricos

Diferença

Resultado

)5,0(x

Diferença

• Para que D seja nulo (onda cinemática) X = 0,5. Caso contrário é introduzida um amortecimento numérico

• Cunge (1980) sugeriu uma equação para o parâmetro X, onde a difusão numérica seria equivalente à difusão real:

xc)X5,0(D

ΔxcSbQ

10,5Xooo

• Dispersão numérica

• Estas equações permitem a estimativa dos parâmetros do modelo Muskingum para que ele funcione como um modelo de difusão

ΔxcSbQ

10,5Xooo

As estimativas são baseadas em dados físicos do trecho

É necessária uma vazão de referência

• Dispersão numérica

• Muskingum Cunge Linear (MCL) essa vazão de referência Q0 é fixa para todo o período de cálculo Tucci (2005) sugere que Q0 seja cerca 70% da vazão máxima do hidrograma de entrada no trecho

• Muskingum-Cunge Não Linear (MCNL) Q0 é calculada em cada passo de tempo de simulação. Desta forma, os parâmetros K e X também variam em cada passo de tempo várias formas esquema de 3 pontos e esquema de 4 pontos (método iterativo)

• c0 pode ser obtida com base na equação de Manning por

• O uso dela está em contradição com o modelo de difusão: equação de Manning onda cinemática

• Jones (1981) analisou a precisão numérica do esquema numérico do modelo Muskingum para resolver a equação de difusão

• Apresentou relações entre K/t e X

0,60,4

0,302/3

0 nBQS

• MCLO modelo Muskingum-Cunge

• Intervalo ajuste de uma curva que atenda as duas funções dentro de uma margem de erro de 2,5%

4,0X2,0

25,1X125,3K

25,132,0

1K/t 5,0X4,0

• Ajuste

A seguir roteiros para uso do modelo para os casos sem dados e com dados

• Sem dados: roteiro 1 Se x é determinado em função dos dados e das características dos trechos t determinado visando à faixa de precisão das curvas e t ≤ tp/5, onde tp é o tempo de pico do Hidrograma de entrada Fixe t = tp/5

Determine x com a equação

Chute inicial, adotando X = 0,3 (melhor precisão)

Adote Qo = 2/3 Imax ou ajuste

Calcule K e X, verifique a precisão (faixa de 5%) se não estiver, reavalie x

• MCL roteiros

25,1000

cbS2,5Q

• MCL roteiros • Sem dados: roteiro 2 Se x é determinado em função dos

dados e das características dos trechos t determinado visando à faixa de precisão das curvas e t ≤ tp/5, onde tp é o tempo de pico do Hidrograma de entrada

Fixe t = tp/5 e determine x com a equação

Calcule K e X, verifique a precisão (faixa de 5%) se não estiver, reavalie x

cbS2,5Q

• Com dados x pode ser fixado em função das características físicas

ou ajustado com outros parâmetros

Utilizando a equação parâmetros de ajuste Q0 e n

Outras etapas iguais aos casos anteriores

• MCL roteiros

0,60,4

0 nBQS

00 5,1115,0

Jones 2,08,00

0 8,0 xtccSB

• MCL x ideal Muskingum Cunge

0,60,4

0 nBQS

Tempo(40min)

vazão de entrada

m s3 /vazão de saída

m s3 /1 20 202 30 203 60 204 90 205 100 21,16 130 27,07 115 42,28 95 63,99 80 85,910 60 103,011 40 102,412 20 92,413 20 77,214 20 59,415 20 41,9

cbS2,5Q

m568.586,1x0007,0x30

87.5,2x

s/m86,1bn

4,06,0

4,03,0

ΔxcSbQ

10,5Xooo

• A celeridade não é constante• Os parâmetros do método de Muskingum Cunge

deveriam variar• Celeridade varia com o nível da água ou com a

vazão

Celeridade aumenta

Celeridade diminui

• MCNL

Murrumbidgee river - Wang e Laurenson, 1983 Water Resources Research

• MCNL Evidências experimentais

• Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis

• A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3)

• Só o que não muda é o x

• MCNL

• MCNL Qual vazão usar como referência?

)Q(c)Q(c)Q(c)j,t(ce

QQQ)j,t(Qo

))j,t(Qo(c)j,t(ce3

QQQ)j,t(Qo

)Q(c)Q(c)Q(c)Q(c))j,t((ce

QQQQ)j,t(Qo

))j,t(Qo(c))j,t((ce4

QQQQ)j,t(Qo

iterativos

O modelo Muskingum-Cunge-Todini• MCT fazer resumo do artigo

PONTES, P. R. M. ; COLLISCHONN, W. . Conservação de volume em modelos simplificados de propagação de vazão. Revista Brasileira de Recursos Hídricos, v. 17, n.4. p. 83-96, 2012.

Contribuição lateral

O tratamento do escoamento em rios pelos modelos anteriores resolve somente o fluxo na calha

Mas o hidrograma de jusante recebe um volume correspondente à vazão lateral (Qlat)

Tem que ser avaliada a importância da contribuição lateral

Contribuiçãolateral

Propagação

• Avaliação da influência (ajuste e verificação)

tomar eventos na seções de montante e de jusante do trecho calcular os volumes: hidrograma de montante (Vm) e de jusante (Vj)

1j QΔV

1m IΔV

nt número de intervalos de tempo

Vi = Vj – Vm

VV(%)P

Dados os hidrogramas (entrada e saída) observados influência da Qlat no hidrograma de saída pode ser verificada por:

Para valores de Pi < 15% influência da Qlat tende a ser pequena deslocamento da onda do rio é o processo principal

Caso contrário (há Qlat significativa) procedimento a seguir

Q iJusanteLateral

hidrograma do períodoV

Q iLateral

Qlat significativa pode-se adotar uma distribuição uniforme para a contribuição lateral (vazão lateral constante ao longo do evento):

Obtida na verificação

dadosJusante

*Jusante QQQ

PQQQ idados

JusantedadosJusante

*Jusante

P1QQ idados

Jusante*Jusante

• Avaliação da influência (ajuste e verificação) Vazão de jusante sem contribuição num tempo t

qualquer

• Prognóstico Quando não é conhecido o hidrograma de jusante contribuição lateral: estimada com base nos valores de Pi (de eventos anteriores registrados) e do hidrograma de montante:

estimadaLateral

dadosJusante

*Jusante QQQ

PQ idados

Jusante

P1QQ idados

Jusante*Jusante

• Prognóstico E quando não se tem eventos a jusante e sabemos

que a contribuição lateral é importante?

Contribuiçãolateral

Propagação

Pode-se utilizar proporção de área com dados de contribuintes, que tenham dados, julgados representativos

Determine o valor do parâmetro K do método de Muskingun, considerando o seguinte evento observado

Tempo I Qdia m³/s m³/s1 101 1042 123 1093 408 3564 627 6045 563 6506 393 5167 163 2468 127 1449 116 12310 107 11411 106 107

• Exercício

Planilha - Exemplo 12.3 Tucci

Modelos de reservatórios

• Linha d’água horizontal, grande profundidade e velocidade baixa

• velocidade baixa termos dinâmicos são desprezíveis perto da grande variação de armazenamento

• Simula-se a propagação de vazão com a equação da continuidade concentrada

Escoamento em reservatórios

Já vimos

Simula a propagação na bacia de detenção com três equações: Equação da continuidade: dS/dt = I - Q Função de armazenamento: S = f(Q) Equação do controle hidráulico: Q = f(H)

Necessário o emprego de métodos numéricos O hidrograma de entrada I pode assumir diferentes formas a equação dinâmica de propagação S = f(Q) é quase sempre não linear

Método de Pulz

Equação da continuidade

SS 1tt1ttt1t

t1tt1t

Variáveis conhecidasIncógnitas

1 equação e 2 Incógnitas equação adicional:Q = f(S/t)

Método de Pulz

Relação volume x vazão

Função auxiliar

Construídas a partir da curva cota x S e cota x Q saída pelas estruturas hidráulicas

Q = f(S/t)

Q = f1(Q + 2.S/t)

t1tt1t

Método de Pulz

1. Estabeleça as condições iniciais So (volume inicial) calcular Q0 = f(S0/t) no gráfico Q = f(S/t);2. Calcule o valor G = lado direito da equação acima 3. Este valor é igual a f1t+1 = lado esquerdo da equação

acima4. No gráfico Q = f1(Q + 2S/t) determinar Qt+1 e St+1

5. Repete-se os itens 2 a 4 até o último intervalo de tempo

t1tt1t

Método de Pulz

Metodologia

t1tt1t

Gf1Tempo It

... ...

2SQIIG 0

0101 1f1 11 S e Q

2SQIIG 1

1212 2f1 22 S e Q

2SQf1 1

11 Da curva Q = f(S/t)111 Qf1

Método de Pulz

Metodologia

Q=f(S/T) Q=f1(Q+2S/T)

t1tt1t

Cálculo de G com o hidrograma de entrada

G = f1

Metodologia

f e f1 f1

Método de Pulz

Curva Q = f(S)Curva cota x volume (armazenamento)

Batimetria do reservatório ou projeto (reservatório de geometria regular)

Método de Pulz

Sistema WGS 84Diferença +/- 5 m

Método de Pulz

Cota: 6,5 mÁrea inundada: 32 haVolume: 0,1 Hm3

Vazão regularizada: ?

Método de Pulz

Cota: 7 mÁrea inundada: 200 haVolume: 0,7 Hm3

Vazão regularizada: ?

Método de Pulz

Cota: 8 mÁrea inundada: 815 haVolume: 5,7 Hm3

Vazão regularizada: 1,0 m3/s

Método de Pulz

Cota: 9 mÁrea inundada: 1.569 haVolume: 17,6 Hm3

Método de Pulz

Cota: 10 mÁrea inundada: 3.614 haVolume: 43,6 Hm3

Método de Pulz

Cota: 11 mÁrea inundada: 7.841Volume: 101 Hm3

Método de Pulz

Cota: 12 mÁrea inundada: 10.198 haVolume: 191 Hm3

Método de Pulz

2gΔgAC'Q3/2w )ZCL(ZQ

Curva cota x vazão de saída função do tipo de dispositivo hidráulico usado na saída (orifício, vertedor, etc.)

Método de Pulz

Curva Q = f(S)

Método de Pulz

Curva Q = f(S)

Estruturas de saída

Método de Pulz

• Qual a relação cota x vazão de saída da estrutura abaixo?

Equação de orifício

hg2acQ

Equação de vertedor

Método de Pulz

Para a cota 561’ h = 0,83’

cfs 0,390,8332,220,0870,62hg2acQ

Método de Pulz

Calcule o hidrograma de saída de um reservatório com um vertedor de 25 m de comprimento de soleira, esta na cota 120 m, considerando tabela cota-volume para o reservatório e o hidrograma de entrada apresentados abaixo, e considerando que nível da água no reservatório está inicialmente na cota 120 m.

Cota (m) Volume (104 m3)

115 1900

120 2000

121 2008

122 2038

123 2102

124 2208

125 2362

126 2569

127 2834

128 3163

129 3560

130 4029

Método de Pulz - exemplo

Hidrograma de entrada no reservatório

Tempo (h) Vazão (m3.s-1)

4 1090

5 1060

10 380

11 310

12 270

13 220

14 200

15 180

16 150

17 120

18 100

O primeiro passo criar uma tabela relacionando a vazão de saída com a cota. Considerando um vertedor livre, com coeficiente C = 1,5 e soleira na cota 120 m, a relação é dada por:

ver tabela

H (m) Q (m3/s)

120 0.0

121 37.5

122 106.1

123 194.9

124 300.0

125 419.3

126 551.1

127 694.5

128 848.5

129 1012.5

130 1185.9

Esta tabela pode ser combinada à tabela cota – volume, acrescentando uma coluna com o valor do termo 2.S/t+Q, considerando o intervalo de tempo igual a 1 hora:

No primeiro intervalo de tempo o nível da água no reservatório é de 120 m, e a vazão é zero. O volume acumulado (S) no reservatório é 2000.104 m3. O valor 2.S/t+Q para o primeiro intervalo de tempo é 11111 m3.s-1. Para cada intervalo de tempo seguinte a vazão de saída pode ser calculada pelos passos do método.

Ver planilha PulsExemploSlides.xls

Q=f(S/T) Q=f1(Q+2S/T)

t1tt1t

Cálculo de G com o hidrograma de entrada

G = f1

Metodologia

f e f1 f1

t1tt1t

Gf1Tempo It

... ...

2SQIIG 0

0101 1f1 11 S e Q

2SQIIG 1

1212 2f1 22 S e Q

2SQf1 1

11 Da curva Q = f(S/t)111 Qf1

Metodologia

• O cálculo de propagação de vazões em reservatórios, como apresentado neste exemplo, pode ser utilizado para dimensionamento de reservatórios de controle de cheias, e para análise de operação de reservatórios em geral. Mediante algumas adaptações, pode ser aplicado para reservatórios com vertedores controlados por comportas e para outras estruturas de saída

• Limitações: métodos como este (level-pool routing) são menos exatos quando o comprimento do reservatório aumenta, a profundidade média do reservatório decresce e o tempo de ascenção do hidrograma decresce.

Determine a capacidade de um reservatório amortecer uma cheia, considerando que o volume inicial do reservatório deve garantir uma demanda de irrigação de 0,1 m3/s e 60 dias a demanda de abastecimento (0,2 m3/s). Considere também as seguintes relações:

Cota Volume Vertedor D. Fundom 10^6 (m³) m³/s m³/s

319 0.01 0 0320 0.5 0 0321 0.8 0 2322 2 0 4323 2.5 5 13324 4 18 32325 7 32 60326 10 50 70

Tempo Vazão de entrada(12 hrs) (m³/s)

1 102 153 304 705 506 357 258 189 1010 10

Método de Pulz – exemplo 2

Calcule o hidrograma de saída de um reservatório com um vertedor de 10 m de comprimento de soleira, com a soleira na cota 120 m, considerando a seguinte tabela cota–volume para o reservatório e o hidrograma de entrada apresentado na tabela abaixo, e considerando que nível da água no reservatório está inicialmente na cota 120 m

Exercícios PulsCota (m) Volume (104 m3)

120 100

121 118

122 168

123 262

124 408

125 562

126 869

127 1234

128 2263

129 3000

130 4000

Hidrograma de entrada no reservatório.

Tempo (h) Vazão (m3.s-1)

4 1090

5 1060

10 380

11 310

12 270

13 220

14 200

15 180

16 150

17 120

18 100

Qual deveria ser o comprimento do vertedor para que a vazão de saída não superasse 600 m3/s?

PROF. CARLOS RUBERTO FRAGOSO JR. PROF. MARLLUS GUSTAVO F. P. DAS NEVES MOEDELAGEM E SIMULAÇÃO...

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