DEFINIÇÃOvidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-content/uploads/sites/12/2016/06... · MATEMÁTICA I 3...

vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br [email protected]

DEFINIÇÃO .................................................................................. 2

GRÁFICO ..................................................................................... 2

ZEROS ou RAÍZES ...................................................................... 3

DISCUSSÃO DAS RAÍZES .......................................................... 5

RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES ........................ 8

VÉRTICE .................................................................................... 12

CONCAVIDADE ......................................................................... 12

MÁXIMO OU MÍNIMO ................................................................ 12

IMAGEM ..................................................................................... 13

FORMA CANÔNICA .................................................................. 18

CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA ................................................ 21

EIXO DE SIMETRIA ................................................................... 32

COEFICIENTES a, b E c NO GRÁFICO ................................... 32

SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA .......................................... 34

INEQUAÇÕES DO 2º GRAU ..................................................... 38

INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE ............................... 43

SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU ............................... 46

RESPOSTAS ............................................................................. 51

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 55

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017.

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

CASSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

DEFINIÇÃO

Uma quadra poliesportiva de uma escola tem forma retangular com 40 metros de comprimento e 20 metros de largura. A direção da escola pretende amplia-la. Para isso vai construir em volta dela uma faixa de largura constante.

Suponhamos que x seja a largura da faixa, em metros. Os lados da nova quadra medem (40 + 2x) e (20 + 2x). Sua área é uma função de x.

800x120x4xfS

x4x40x80800S

x220x240S

2

2

A fórmula que define essa função é um polinômio de 2º grau na variável x. Funções reais como esta são chamadas de funções quadráticas ou funções do 2º grau.

Exemplos de funções quadráticas: a) f(x) = x2 – 3x + 2

onde a = 1, b = -3 e c = 2. b) f(x) = 2x2 + 4x – 3

onde a = __, b = __ e c = __.

1 Parábola é uma das 4 curvas cônicas

c) f(x) = -3x2 +5x -1 onde a = __, b = __ e c = __.

d) f(x) = x2 – 4 onde a = __, b = __ e c = __.

e) f(x) = 2x2 +5x onde a = __, b = __ e c = __.

f) f(x) = -3x2 onde a = __, b = __0 e c = __.

____________________________

GRÁFICO

O gráfico da função quadrática é uma parábola1.

Ex1: Veja, no exemplo abaixo, o gráfico

da função f(x) = x2. x x2 y

-3 (-3)2 9 A = (-3; 9)

-2 (-2)2 4 B = (-2; 4)

-1 (-1)2 1 C = (-1; 1)

0 02 0 D = (0; 0)

1 12 1 E = (1; 1)

2 22 4 F = (2; 4)

3 32 9 G = (3; 9) Vamos agora localizar, no plano cartesiano, os pontos encontrados na tabela.

FUNÇÃO QUADRÁTICA ou

FUNÇÃO DO 2º GRAU é toda função real do tipo

y = f(x) = ax2 + bx + c sendo a, b e c números reais com a 0.

MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA

Ligando-se os pontos, formaremos o gráfico:

𝐷 = ℝ e 𝐼𝑚 = [0,∞[

Ex.2: Vamos, agora, construir o gráfico

da função g(x) = -x2 localizando alguns pontos e ligando-os em seguida.

x -x2 y

-3 -(-3)2 -9 A = (-3; -9)

-2 -(-2)2 -4 B = (-2; -4)

-1 -(-1)2 -1 C = (-1; -1)

0 -02 -0 D = (0; 0)

1 -12 -1 E = (1; -1)

2 -22 -4 F = (2; -4)

3 -32 -9 G = (3; -9)

𝐷 = ℝ e 𝐼𝑚 = [−∞, 0[

Note que, quando multiplicamos a função por -1 (g(x) = -f(x)) obtemos um gráfico simétrico ao anterior em relação ao eixo das abscissas.

Observação: Neste momento, não trabalharemos com construção de gráficos. Faremos isto mais a frente.

ZEROS ou RAÍZES

Chamam-se de raízes ou de zeros da

função do 2º grau os valores de x que tornam

nula a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Uma das técnicas utilizadas para encontrar as raízes de uma função do 2º grau é a Fórmula de Báskara amplamente conhecida e relativamente fácil de ser aplicada. Abaixo segue a demonstração da fórmula:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑓(𝑥) = 0 ⇔ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

𝑎 (𝑥2 +𝑏𝑥

𝑎+𝑐

𝑎) = 0

𝑥2 +𝑏𝑥

𝑎+𝑐

𝑎= 0


𝑥2 +𝑏𝑥

𝑎+𝑏2

4𝑎2⏟ 𝑇. 𝑄. 𝑃.

−𝑏2

4𝑎2+𝑐

𝑎= 0

(𝑥 −𝑏

2𝑎)2

+−𝑏2 + 4𝑎𝑐

4𝑎2= 0

(𝑥 −𝑏

2𝑎)2

=𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 −𝑏

2𝑎= ±√

𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 −𝑏

2𝑎= ±

√𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =𝑏

2𝑎±√𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

(continua)

Chamando de a expressão 𝑏2 − 4𝑎𝑐, temos:

𝑥 =𝑏 ± √∆

2𝑎

A seguir veremos alguns exemplos de aplicação da fórmula de Báskara.

Ex1.: Quais os zeros da função abaixo?

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6. Resolução: Vamos dividir a resolução em três etapas: i) Destacar os coeficientes ii) Calcular o discriminante . iii) Calcular as raízes Etapa i) a = 1, b = -5, c = 6 Etapa ii)

124256145422 acb

Etapa iii)

2

15

12

15

2

a

bx

32

152

2

1521

xx

Logo, as raízes da função são 2 e 3 Ex2.: Quais os zeros da função

𝑓(𝑥) = 9𝑥2 − 12𝑥 + 4? Resolução: Etapa i)

𝑎 = 9, 𝑏 = −12, 𝑐 = 4 Etapa ii)

014414449412422 acb


Etapa iii)

18

012

92

012

2

a

bx

3

2

18

012

3

2

18

01221

xx

Logo, as raízes da função são 3

2 e

3

2.

Ex3.: Quais os zeros da função

1062 xxxf ?

Resolução: Etapa i) a = 1, b = -6, c = 10 Etapa ii)

4403610146422 acb

Etapa iii)

12

46

2

a

bx

Como -4 não possui raiz quadrada real, dizemos que a função dada não possui raízes reais.

DISCUSSÃO DAS RAÍZES

A existência das raízes de uma função

quadrática fica condicionada ao fato da √∆ ∈ℝ.

Assim, temos três casos a considerar: > 0,

= 0 e < 0. Vamos discutir os três casos:

1º Caso: > 0: Quando > 0, a função apresentará duas raízes reais distintas:

a2

bxe

a2

bx 21

2º Caso: = 0: Neste caso, 0 , assim

temos que

a2

bxx 21

3º Caso: < 0:

Como √∆ ∉ ℝ quando < 0, a função não apresentará raízes nesta situação.

01) Determinar as raízes reais das funções a seguir;

a) 1582 xxxf

b) 822 xxxf

c) 962 xxxf


d) xxxf 42

e) 1032 xxxf

f) 352 2 xxxf

g) 52221 2 xxxf

h) 42 xxf

i) 562 xxxf


j) 952 xxxf

k) 9

4

3

52 xxxf

02) Qual o valor de b para que a função

32 bxxxf tenha duas raízes iguais?

03) Determinar as condições sobre k na função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 – 2𝑥 + (𝑘 – 1) a fim de

que 𝑓 não admita raízes reais.


04) A função

𝑓(𝑥) = (𝑝 – 1)𝑥2 + 3𝑥 + (𝑝 + 1) possui duas raízes reais iguais. Nestas

condições, qual o valor de 𝑝?

05) Qual é o menor número inteiro 𝑚 para o qual a função real de variável real dada por 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 3𝑥 + (𝑚 + 2) não admite raízes reais?

RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES

Sendo 𝑥1 e 𝑥2 as raízes de uma função do segundo grau do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, podemos afirmar que:

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎

e

𝑥1 ∙ 𝑥2 =𝑐

𝑎

Estas relações são chamadas de relações de Girard e podem ser facilmente demonstradas. Acompanhe:

Fazendo a

bx

21

e

a

bx

22

,

temos que

a

b

a

b

a

b

a

bxx

2

2

2221

e

a

c

a

acbb

a

acbbxx

a

b

a

b

a

bxx

4

4

4

4

4222222

21

22

21

Ex.1: Encontrar a soma e o produto das raízes da função f(x)=2x2 + 4x – 30 sem calcular as raízes. Resolução: a = 2; b = 4 e c = -30

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎= −

4

2= −2

𝑥1 ∙ 𝑥2 =𝑐

𝑎=−30

2= −15

Logo, a soma das raízes é −2 e o produto é

−15. Ex.2: Escreva uma função do segundo grau cujas raízes seja 4 e -1. Resolução:


−𝑏

𝑎= 4 + (−1) = 3

Fazendo a = 1, temos que b = -3 𝑐

𝑎= 4 ∙ (−1) = −4

Tomando a = 1, temos que c = -4. Assim, uma equação procurada é

𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 3𝑥 – 4

Observação: Se tivesse sido atribuído a outro valor qualquer (diferente de 1), os valores de b e c mudariam mas, ainda assim, seria

encontrada uma função cujas raízes são 4 e −1.

06) Calcule a soma e o produto das raízes das funções abaixo; a) f(x) = 3x2 – x + 5 b) f(x) = -x2 + 6x - 5 c) f(x) = 2x2 - 7 d) f(x) = x2 – 3x - 2 07) Obtenha uma função do segundo grau cujos zeros sejam: a) 3 e 4

b) -1 e 2 c) -5 e -4

d) √3 + √2 e √3 − √2 e) 0 e 8 f) 3 e 3

g) √7 e 6√7


08) Mostre que uma equação do 2º grau de raízes x1 e x2 pode ser escrita na forma f(x) =

x2 – Sx + P sendo S = x1 + x2 e P =x1 ∙ x2.

09) Uma das raízes da equação

𝑥2 + 𝑝𝑥 + 27 = 0 é o quadrado da outra. Qual o valor de 𝑝? 10) As raízes da função

𝑓(𝑥) = 3𝑥2– 10𝑥 + 𝑐 são tais que uma é o inverso da outra. Qual é a maior das duas raízes?


11) Uma das raízes da equação

𝑥2– 25𝑥 + 2𝑝 = 0 excede a outra em 3 unidades. Encontre as raízes da equação e o valor de p. 12) A diferença entre as raízes da equação

𝑥2 + 11𝑥 + 𝑝 = 0 vale 5. Encontre as raízes e o valor de 𝑝.

13) Sendo 𝑚 e 𝑛 as raízes da equação

3𝑥2 + 10𝑥 + 5 = 0, qual o valor de:

a) 𝑚 + 𝑛

b) 𝑚 ∙ 𝑛

c) 1

𝑚+1

𝑛

d) 𝑚2 + 𝑛2


VÉRTICE

No início desta apostila, tivemos uma ideia inicial acerca do gráfico da função do segundo grau. Você viu que o gráfico tem o formato da curva ao lado. O ponto V na figura, é chamado de vértice da parábola e está localizado sobre o seu eixo de simetria.

As coordenadas no vértice da parábola podem ser encontradas a partir dos coeficientes por meio da fórmula:

𝑉 = (−𝑏

2𝑎; −

∆

4𝑎)

(Na página 51 desta apostila, você encontra a demonstração da fórmula que nos permite encontrar as coordenadas de V.)

Determinar as coordenadas do vértice da parábola que representa graficamente a

função 𝑓(𝑥) = 𝑥2– 4𝑥 + 3. Resolução:

𝑥𝑣 = −𝑏

2𝑎= −

−4

2= 2

𝑦𝑣 = −𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎= −

(−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ 3

4 ∙ 3= −1

Logo, 𝑉 = (2,−1)

CONCAVIDADE

A parábola que representa

graficamente a função quadrática y = ax2 +bx + c pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo de acordo com o sinal do

coeficiente 𝑎.

Se 𝒂 > 𝟎, a parábola tem a

concavidade voltada para cima.

Se 𝒂 < 𝟎, a parábola tem a

concavidade voltada para baixo.

MÁXIMO OU MÍNIMO

Dada uma função 𝑓 podemos dizer que ela admite máximo se, e somente se existe 𝑥𝑚, 𝑥𝑚 𝐷(𝑓) tal que:

𝑓(𝑥𝑚) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) O número 𝑓(𝑥𝑚) é chamado de valor máximo de f. E podemos dizer que ela admite mínimo se, e somente se existe 𝑥𝑚, 𝑥𝑚 𝐷(𝑓) tal que:

𝑓(𝑥𝑚) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) O número 𝑓(𝑥𝑚) é chamado de valor mínimo de f. Uma função quadrática admite ponto de máximo no vértice quando a < 0. Uma função quadrática admite ponto de mínimo no vértice quando a > 0.


IMAGEM

A partir do esboço do gráfico da função

quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, podemos notar que a ordenada do vértice limita sua

imagem, assim, se 𝑎 > 0, 𝑦 ≥ 𝑦𝑣 e se 𝑎 < 0, 𝑦 𝑦𝑣, logo:

Para 𝑎 > 0

𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≥ −∆

4𝑎}

Para 𝑎 < 0

𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ −∆

4𝑎}

14) Em cada uma das funções quadráticas a seguir, determine o vértice da parábola da representação gráfica e aponte a direção da concavidade da parábola. Determine também a imagem da função. a) f(x) = x2 – 2x + 2

b) y = –x2 + 4x c) f(x) = –x2 + 5x – 3

d) 2xx2

1xf 2


e) 2x6x3xf 2

f) 4

1

2

xxxf 2

g) 4,0x2xxf 2

15) Para que valores de m o gráfico da a função f(x) = (m – 5)x2 + 2x – m tem a concavidade voltada para cima? 16) O vértice da parábola da função y = x2 +bx + c é o ponto V(-3; 1). Calcule b e c.


17) Sabe-se que a parábola que descreve a função y = x2 + kx + 2k passa pelo ponto (1: 7). a) Determine k. b) Quanto vale f(0)? E f(3)? 18) Calcule b e c sabendo que a parábola de y = x2 + bx + c passa pelos pontos (1; 1) e (2; 6).


19) Determine a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c tal que f(0) = 2, f(1) = 6 e f(-1) = 0. (Você deve determinar a, b e c)

20) O arco de parábola da figura ao lado é o gráfico de uma função em que y é proporcional ao quadrado de x.

a) Qual o domínio e imagem da função?

b) Encontre a fórmula de y em função de x. (dica: se y é proporcional quadrado de x, então y é igual a x2 multiplicado por uma constante, ou seja, a função é do tipo y = ax2) c) Obtenha y para x = 3? 21) O preço de uma pizza é diretamente proporcional à sua área. Por isso, a fórmula que dá o preço (em reais) de uma pizza em função de seu raio R (em cm) é do tipo P = kR2. No caso, k é uma constante real não nula. Uma pizzaria vende uma pizza de raio igual a 20cm por R$12,00. a) Qual o valor de k? b) Por quanto deve ser vendida uma pizza de 30cm de raio?


c) Qual a taxa de variação média do preço da pizza por centímetro de raio quando este muda de 20cm para 30cm? E quando muda de 30cm para 40 cm?

22) Um substância sofreu mudanças de temperatura durante 8 minutos. Sua temperatura T em graus Celsius, t minutos após o início do experimento, é dada pela fórmula T = -2t2 + 16t + 10. Encontre: a) a temperatura inicial da substância. b) o instante em que ela atingiu a temperatura máxima. c) a temperatura máxima atingida. d) os instantes em que a temperatura atingiu 24ºC.

______________________


ATIVIDADES COMPLEMENTARES

Pág. 180 – Exercícios 07 a 14

FORMA CANÔNICA

A construção do gráfico da função

quadrática com o auxílio de uma tabela como está apresentado no início desta apostila torna-se as vezes um trabalho impreciso. Não era o caso daqueles exemplos e de outros que você vez nos exercícios, mas isto pode acontecer quando, por exemplo, a parábola intercepta o eixo horizontal ou vertical em pontos de abscissa ou ordenada não inteiros. A fim de podermos fazer um estudo analítico mais detalhado da função quadrática, vamos, em princípio, transforma-la em outra forma chamada de FORMA CANÔNICA. Vamos transformar a função na forma

polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 para a forma canônica, veja:

a

acb

a

bxaxf

a

acb

a

bxaxf

ca

b

a

bx

a

bxaxf

ca

b

a

bx

a

bxaxf

cxa

bxaxf

cbxaxxf

4

4

2

4

4

2

44

44

22

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

Esta forma é a chamada forma

canônica. Representando 𝑏2 – 4𝑎𝑐 por , também chamado de discriminante do trinômio do 2º grau temos a forma canônica como a conhecemos:

aa

bxaxf

42

2


Ex.1: Vamos passar a função f(x) = x2 – 5x + 6 para a forma canônica:

4

1

2

5xxf

64

25

4

25x5xxf

6x5xxf

2

2

2

Ex.2: Passar a função quadrática

2x7x3xf 2 para a forma canônica e em

seguida determinar suas raízes caso existam. Resolução:

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 7𝑥 + 2

𝑓(𝑥) = 3 (𝑥2 −7

3𝑥 +

2

3)

𝑓(𝑥) = 3 (𝑥2 −7

3𝑥 +

49

36−49

36+2

3)

𝑓(𝑥) = 3 [(𝑥 −7

6)2

−25

36]

𝑓(𝑥) = 3 (𝑥 −7

6)2

−25

12

Vamos agora encontrar as raízes. Para isto, vamos igualar a 0 a expressão encontrada:

3 (𝑥 −7

6)2

−25

12= 0

3 (𝑥 −7

6)2

=25

12

(𝑥 −7

6)2

=25

36

𝑥 −7

6= ±√

25

36

𝑥 =7

6±5

6

𝑥1 =12

6= 2 𝑜𝑢 𝑥2 =

2

6=1

3

Assim, as raízes são 2 e 1

3.

23) Passe as funções quadráticas a seguir para a forma canônica e, em seguida, encontre as raízes, caso existam.

a) 2x3xxf 2

b) 12x7xxf 2


c) 12x7xxf 2

d) 2x7x3xf 2

e) 2x2xxf 2

f) 1x2

3xxf 2


g) 1x2xxf 2

h) x2xxf 2

CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA

Nos exemplos a seguir, construiremos gráficos de funções do segundo grau (parábolas) a partir de sua forma canônica mas antes vamos entender algumas translações que podemos realizar nos gráficos de funções do segundo grau. Nas páginas 2 e 3 desta apostila,

construímos o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Para tal partimos de uma tabela, localizamos os pontos no plano e ligamos construindo o gráfico. Relembre:

x x2 y

-3 (-3)2 9 A = (-3; 9)

-2 (-2)2 4 B = (-2; 4)

-1 (-1)2 1 C = (-1; 1)

0 02 0 D = (0; 0)

1 12 1 E = (1; 1)

2 22 4 F = (2; 4)

3 32 9 G = (3; 9) Vamos agora localizar, no plano cartesiano, os pontos encontrados na tabela.

Ligando-se os pontos, formaremos o gráfico:


DESLOCAMENTO VERTICAL

Agora, vamos construir o gráfico da

função 𝑔(𝑥) = 𝑥2 – 1. Este gráfico pode ser obtido a partir do

gráfico anterior deslocando todos os seus pontos em uma unidade para baixo já que

para cada valor de x em 𝑓(𝑥) = 𝑥2, a imagem

relativa a 𝑔(𝑥) = 𝑥2 – 1 estará uma unidade abaixo.

Veja como ficará o gráfico:

Continuando nesta linha, vamos

construir o gráfico de ℎ(𝑥) = 𝑥2 – 4.

Agora, a partir de 𝑓(𝑥) = 𝑥2, vamos “descer” todos os seus pontos em 4 unidades

Veja, na sequência abaixo, diversos

gráficos ilustrando esta situação:

p(x) = x2 + 5 k(x) = x2 + 2 f(x) = x2 g(x) = x2 – 1 h(x) = x2 – 4

Observando as construções anteriores, podemos concluir que, somando-se ou subtraindo-se uma constante de uma função do segundo grau, deslocamos o seu gráfico verticalmente.

DESLOCAMENTO HORIZONTAL

Vamos, agora, provocar deslocamentos horizontais no gráfico.


Mais uma vez, partiremos do gráfico da

função 𝑓(𝑥) = 𝑥2.

Vamos agora construir a tabela e, em

seguida, o gráfico de ℎ(𝑥) = (𝑥 + 2)2.

𝑥 𝑥 + 2 (𝑥 + 2)2 𝑦 (𝑥, 𝑦) −5 −3 (−3)2 9 𝐴 = (−5; 9) −4 −2 (−2)2 4 𝐵 = (−4; 4) −3 −1 (−1)2 1 𝐶 = (−3; 1) −2 0 02 0 𝐷 = (−2; 0) −1 1 12 1 𝐸 = (−1; 1) 0 2 22 4 𝐹 = (0; 4) 1 3 32 9 𝐺 = (1; 9)

Observe, em verde, no plano a seguir,

os pontos encontrados a partir da tabela e o

gráfico da função ℎ.

Agora construiremos o gráfico de

𝑔(𝑥) = (𝑥 – 3)2.

𝑥 𝑥 − 3 (𝑥 + 2)2 𝑦 (𝑥, 𝑦) 0 −3 (−3)2 9 𝐴 = (0; 9) 1 −2 (−2)2 4 𝐵 = (1; 4) 2 −1 (−1)2 1 𝐶 = (2; 1) 3 0 02 0 𝐷 = (3; 0) 4 1 12 1 𝐸 = (4; 1) 5 2 22 4 𝐹 = (5; 4) 6 3 32 9 𝐺 = (6; 9)

Localizando no plano e construindo o gráfico, temos:

Neste caso, foi possível observar que somando ou subtraindo uma constante ao x, o gráfico da função sofre um deslocamento lateral. Veja no conjunto de gráficos a seguir:


𝑘(𝑥) = (𝑥 + 3)2

𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 3)2

ℎ(𝑥) = (𝑥 + 2)2 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 4)2

De maneira informal, mas que proporciona um bom entendimento, podemos dizer que somando-se uma unidade ao argumento x, o gráfico é deslocado uma unidade para a esquerda e subtraindo uma unidade do argumento x, o gráfico é deslocado uma unidade para a direita. ABERTURA Em termos de abertura, as parábolas podem ter a concavidade mais aberta ou mais fechada ou ainda a concavidade voltada para baixo. Mais uma vez, começaremos com o

gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 mas agora destacaremos uma nova situação em termos de deslocamento. Observe o gráfico.

Na figura, além do gráfico, foram destacadas linhas em três cores de duas tonalidades cada. Ressaltando que em

𝑓(𝑥) = 𝑥2 os valores de y variam com o quadrado de x e tomando como referência o vértice da parábola, podemos observar que:

Em azul: quando x varia uma unidade, y varia 12, ou seja, 1 e quando x varia em uma unidade para a esquerda, y varia em (-1)2, ou seja, 1.

Em vermelho: quando x varia duas unidades, y varia 22, ou seja, 4 e quando x varia em duas unidades para a esquerda, y varia em (-2)2, ou seja, 4.

Em verde, quando x varia três unidades, y varia 32, ou seja, 9 e quando x varia em três unidades para a esquerda, y varia em (-3)2, ou seja, 9.

Tente observar o mesmo padrão para x variando 4 unidades.

No entanto, se tivermos uma constante

multiplicando o “x2”, esta constante influenciará diretamente na taxa de variação de y em relação a x. Veja no exemplo a seguir

com a função 𝑔(𝑥) = 2𝑥2.


Veja que, neste caso, as variações em

y são o dobro dos quadrados das variações em x. Isso se deve ao fator 2 multiplicando o “x2”.

Veja este outro exemplo com a função

ℎ(𝑥) =1

2𝑥2.

A

Agora pode-se perceber que as variações em y são equivalentes à metade dos

quadrados das variações em x. Isso se deve

ao fator 1

2 multiplicando o “x2”.

Vejamos, agora, o papel de uma

constante negativa multiplicando o “x2”. No gráfico a seguir, utilizaremos o fator

-1 e o resultado observado vale, também para quaisquer outros fatores negativos.

É possível observar que, para cada

deslocamento horizontal a partir do vértice, o deslocamento vertical varia com o quadrado de x porém para baixo, Desta forma, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

Assim, em termos da influência da

constante a no gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, podemos concluir que se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima e se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo (isso já foi falado na página 12). Além disso, podemos dizer que quanto maior o valor de a (em módulo), mais fechada estará a parábola e quanto mais próximo de zero for o valor de, mais aberta estará a parábola.

Agora vamos focar noutro ponto.


Na página 17, vimos que a forma

canônica da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é

aa

bxaxf

42

2

Na página 12, vimos que as coordenadas do vértice da parábola são:

a4;

a2

bV

Assim, podemos reescrever a forma canônica como:

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)2 + 𝑦𝑣

Observe que, nesta notação, podemos

notar de forma clara, os três elementos que acabamos de estudar:

A partir do que foi visto, detalhadamente, nas últimas páginas, vamos, agora construir gráficos de funções do 2º grau sem a necessidade de partir de uma tabelinha.

O nosso procedimento será encontrar a forma canônica das funções e, a partir dela localizarmos o vértice e fazermos os deslocamentos sobre o plano para encontrar pontos de referência para a construção do gráfico.

Acompanhe os exemplos a seguir:

Ex.:Construir o gráfico da função

342 xxxf .

Resolução: (Na coluna ao lado)

Forma canônica:

12

3444

3444

34

2

2

2

2

xxf

xxxf

xxxf

xxxf

Assim, temos que:

a = 1 e V = 1,2

A partir daí, localizamos o vértice no

plano e em seguida alguns outros pontos da parábola de acordo com o que estudamos:

O passo seguinte será ligar estes pontos em forma de parábola formando, assim, o gráfico procurado.


Os demais exemplos, nas próximas páginas, construiremos juntos em forma de exercícios.

24) Construir o gráfico da função

f(x) = x2 – 2x - 3


25) Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 4x +4

26) Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 2x


27) Construir o gráfico da função f(x) = 2x2 – 4x – 1



2

3

2

1 2 xxxf


542 xxxf



342 xxxf



26102 xxxf

______________________


Pág. 176– Exercício 01

EIXO DE SIMETRIA

“O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo horizontal que passa pelo vértice da parábola”. A afirmação acima está presente no livro “Fundamentos da Matemática Elementar” e sua demonstração encontra-se na página 52 desta apostila. Esta conclusão nos permite construir apenas um ramo da parábola (à esquerda ou direita do vértice) e simetrizar este ramo em relação ao eixo de simetria para construir o outro ramo.

COEFICIENTES a, b E c NO GRÁFICO

Os parâmetros 𝑎, 𝑏 e 𝑐 de uma função quadrática apresentada sob a forma

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 nos dão informações interessantes e importantes sobre a natureza do gráfico. Vamos ver nos acasos a seguir:

1. Parâmetro c

O coeficiente 𝒄 indica o ponto onde a parábola cruza o eixo vertical.

A parábola cruzo o eixo das ordenadas no ponto (0, c).

2. Parâmetro b

Este coeficiente indica se a parábola cruza o eixo das ordenadas com seu ramo crescente ou decrescente. Veja cada um dos casos nos exemplos abaixo. 1º caso: b > 0


Quando b > 0, a parábola cruza o eixo vertical com seu ramo crescente.

2º caso: b < 0 Quando b < 0, a parábola cruza o eixo vertical com seu ramo decrescente.

3º caso: b = 0 Quando b = 0, a parábola cruza o eixo vertical no vértice, onde a função não é crescente nem decrescente.

3. Parâmetro a

O parâmetro 𝒂 é responsável pela concavidade e abertura da parábola. Como já

vimos, se 𝑎 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima e se 𝑎 < 0, a concavidade estará voltada para baixo.

Porém, mais do que isso, este parâmetro determina a abertura da parábola.

Quanto maior o valor absoluto de 𝒂, menor será sua abertura ou, em outras palavras, mais “fechada” ela será independente da direção da concavidade. Veja nos exemplos a seguir:

Estas informações são úteis, entre

outras coisas, para verificar se construção do gráfico está correta.


SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Como já vimos em funções do primeiro grau, estudar o sinal de uma função é determinar para quais valores de x a função assume valores positivos, negativos ou mesmo zero.

Dada uma função quadrática do tipo

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, sabemos que 𝑓(𝑥) pode apresentar duas, uma ou nenhuma raiz

e o sinal do coeficiente 𝒂 determina a concavidade da parábola.

Para estudar o sinal de uma função do 2º grau, fazer um esboço do gráfico baseado nas raízes, caso existam, e no sinal do coeficiente a.

Veja, nos exemplos, alguns casos.

Vamos estudar o sinal das seguintes funções: Ex.1: f(x) = x2 – x – 6 Resolução: As raízes são x1 = -2 e x2 = 3 e a = 1 > 0, assim a parábola corta o eixo OX em dois pontos e possui concavidade para cima. O esboço a seguir mostra isto e apresenta os sinais em cada intervalo.

Logo, podemos afirmar que:

3x2para0xf

3xou2xpara0xf

3xou2xpara0xf

Ex.2: f(x) = –2x2 + 3x + 2 Resolução: x1 = -1/2 , x2 = 2 e a = -2 < 0

2x2

1para0xf

2xou2

1xpara0xf

2xou2

1xpara0xf

Ex.3: f(x) = x2 – 2x + 1 Resolução: x1 = x2 = 1 e a = 1 > 0

1xpara0xf

1xpara0xf

Ex.4: f(x) = –2x2 + 8x - 8 x1 = x2 = 2 e a = 1 > 0

2xpara0xf

2xpara0xf

Ex.5: f(x) = x2 – 2x + 2 a = 1 > 0 e f(x) não possui raízes.


Logo, 𝑓(𝑥) > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∀𝑥 ∈ ℝ Ex.6: f(x) = –x2 + x – 1 a = -1 < 0 e f(x) não possui raízes.

Assim, 𝑓(𝑥) < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∀𝑥 ∈ ℝ

______________________________

Faça agora alguns exercícios envolvendo estudo de sinais e inequações.

32) Faça o estudo do sinal das seguintes funções:

a) 1x5x6xf 2

b) 3x2xxf 2


c) 4x4xxf 2

d) 2xxxf

e) 9xxf 2

f) 1x34x2xf

g) 2x1x2xf


h) 1xx2xf 2

i) 1x1xxf

j) 2x3xf


33) Determine os valores de c para os quais

temos 𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐 > 0, ∀𝑥 ∈ ℝ

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 182 – Exercícios R.6 e R.7

Pág 184 – Exercícios 15 e 16

INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

Sendo f(x) = ax2 + bx + c com a, b e c

reais e a 0, chamamos de INEQUAÇÃO DO 2º GRAU às sentenças do tipo f(x) > 0 ou f(x)

0 ou f(x) < 0 ou ainda f(x) 0. Resolver uma inequação significa determinar os valores reais de x que satisfazem a condição pedida e isto é feito analisando-se o sinal da função. Veja no exemplo a seguir.

Ex. 1. Qual a solução da inequação 2x2 – 5x + 2 >0. Resolução: Em princípio devemos determinar as raízes da função e a seguir esboçar o gráfico.

As raízes são 2x1 e 2

1x2 e

a = 2 > 0.

Observando o esboço do gráfico, podemos notar que a função é positiva para

2

1x ou 2x assim:

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 <1

2 𝑜𝑢 𝑥 > 2}

Ex.2:

Resolver a inequação x2 – 6x – 7 0. As raízes são x1 = -1 e x2 = 7 e a > 0.

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 ≤ 𝑥 ≤ 7} Ex.3: Quais valores de x satisfazem a inequação x2 – 6x + 9 > 0? Raízes: x1 = x2 = 3 e a > 0

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 3}


34) Determine o conjunto solução de cada uma das inequações a seguir:

a) 010x9x2

b) 0xx6 2

c) 4x2

d) x1236x2


e) 1xx2

f) 8

1x12x2

2

x2

g) 2mm21mm 22

h) 1tt2t

i) 16x44xx


j) 6

1k

3

1k

2

k 2

k) 2a42x 22

35) Num laboratório, uma substância sofre um processo de mudança de temperatura. Sabe-se que após t segundos após o início do experimento, a temperatura C, em graus Celsius, é dada por C(t) = t2 – 12t + 35. a) Qual a temperatura inicial da substância? b) Qual a temperatura mínima que a substância atinge?


c) Em que instante isto ocorre? d) Durante quanto tempo a temperatura fica negativa? e) Em que intervalo de tempo a temperatura ficou abaixo de 24ºC?

______________________


Pág. 184– Exercícios 17 a 19


INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE

Resolver uma inequação produto e/ou quociente do segundo grau é semelhante ao que fazemos com aquelas que envolvem apenas funções do primeiro grau. Veja o exemplo.

Ex.: Resolver a inequação

(x2 + 2x – 3)(4x – 1) > 0 Resolução: Devemos estudar o sinal de cada uma das funções.

f(x) = x2 + 2x – 3

g(x) = 4x – 1

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| − 3 < 𝑥 <1

4 𝑜𝑢 𝑥 > 1}

___________________________ Como não há novidades em relação ao que já vimos em inequações produto/quociente do primeiro grau, podemos passar direto aos exercícios.

36) Resolva as inequações:

a) 01xx24x5x 22

b) 01x5xx2


c) 02x3xx 2

d) 0x110x3x3x2 22

e) 01xx2

1x3x42

2

f) 05x6x

x42

2


37) Resolva as duas inequações a seguir:

a) 2x

1x

1x

x

b) 21x

1

1x

122

38) Seja 1x2

1x2xf

2

. Determine os valores

de x em cada caso: a) para que se tenha f(x) = 1 b) para que se tenha f(x) > 1


39) Dado 1x2x31xx2xf 22

calcule os valores de x em cada caso: a) para que se tenha f(x) = 0 b) para que se tenha f(x) > 0

SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

Resolver um sistema de inequações do

2º grau ou um sistema de inequações simultâneas do 2º grau é semelhante àquele envolvendo apenas inequações do primeiro grau.

Devemos lembrar que a solução de um

sistema é a INTERSECÇÃO das soluções de cada uma das inequações que o formam.

Ex.: Resolver o sistema

1xx2

2xx

2

2

.

Resolução: Devemos resolver cada inequação separadamente e, em seguida, fazer a intersecção entre as soluções.

2xe1x

02xx

2xx

21

2

2

1xe

2

1x

01xx2

1xx2

21

2

2

]2;1[]2

1;1[S


40) Resolva os sistemas:

a)

3x2x2x2x

1x21x2

22

2

b)

9x8x

9x

x8x

2

2

2


41) Indique o conjunto solução de cada um dos três sistemas de inequações simultâneas a seguir:

a) 4x5xx4 222

b) 2

x1x5

2

xx

2

1 2


c) 3xx22x3x1x2x3 222

42) Sejam 52xxf 2 e 1x3xg 2 .

Determine x tal que: a) 2 < f(x) < 5

b) f(x) g(x)


43) Calcule m de modo que 1mxmxxf 2

tenha raízes reais e o gráfico seja uma parábola voltada para cima.

44) Construir o gráfico da função:

3xou3xpara14x

3x3para4xxf

2

2


45) Construir o gráfico da função:

1xpara1x

1x2para3 - x 2 + x²

-2xpara7x2

xf

RESPOSTAS

01) a) 3 e 5 b) -2 e 4 c) 3 e 3 d) 0 e 4

e) -5 e 2 f) -3 e 2

1

g) 3

1 e

7

5 h) -2 e 2

i) -5 e -1 j) Não possui raízes reais

k) 3

1 e

3

4

02) 32

03) 3

4k 04)

2

13p

05) -1

06) a) 3

1S e

3

5P

b) S = 6 e P = 5

c) S = 0 e 2

7P

d) S = 3 e P = -2

07) a) f(x) = x2 – 7x + 12 b) f(x) = x2 – x – 2 c) f(x) = x2 + 9x + 20

d) f(x) =x2 + 2√3x+1 e) f(x) = x2 – 8x f) f(x) = x2 – 6x + 9

g) f(x) =x2 - 7√7x + 42

08) - Demonstração -

09) P = -12 10) 3

11) P = 77

12) As raízes são -3 e -8 e p vale 24

13) a) 10

3 b)

5

3

c) 2 a) 70

9

14) a) vértice (1; 1); Im = [1; ); concavidade para cima.


b) vértice (2; 4); Im = (-; 4] concavidade para baixo.

c) vértice

4

13;

2

5; Im = (-;

4

13];

concavidade para baixo.

d) vértice

2

3;1 ; Im =(-;

2

3];

concavidade para cima. e) vértice (1; -5); Im = [-5; );

concavidade para cima

f) vértice

4

3;

4

1; Im = [

4

3; );


g) vértice

10

9;

2

2;

Im = [10

9 ; );


15) m > 5

16) b = 6 e c= 10

17) a) k = 2 b) f(0) = 4; f(3) = 19

18) b = 2 e c = -2

19) f(x) = x2 + 3x + 2

20) a) D = [0, ) e Im = [0, )

b) 4

xy

2

c) 4

9y

21) a) 0,03 b) R$27,00

c) 20 30: 1,50 / cm

30 40: 2,10 / cm

22) a) 10ºC b) 4 min c) 42ºC d) 1 min e 7 min

23) a)

4

1

2

3xxf

2

raízes: 1 e 2

b)

4

1

2

7xxf

2

raízes: 3 e 4.

c)

36

25

6

7x3xf

2

raízes: 2 e 3

1

d) 11xxf2

Não possui raízes reais. e) 22xxf raiz: -2

f)

16

25

4

3xxf

2

raízes: 2 e 2

1

g) 21xxf2

raízes: 21 e 21

h) 11xxf2

raízes: 0 e 2

24)


25)

26) 27) 28) 29) 30 31) 32)

a)

2

1x

3

1para0xf

2

1xou

3

1xpara0xf

2

1xou

3

1xpara0xf

b)

1xou3xpara0xf

1xou3xpara0xf

1x3para0xf

c)

2xpara0xf

2xpara0xf

d)

1xou0xpara0xf

1xou0xpara0xf

1x0para0xf

e)

3x3para0xf

3xou3xpara0xf

3xou3xpara0xf

f)

3

1x2para0xf

3

1xou2xpara0xf

3

1xou2xpara0xf

g)

2xou1xpara0xf

2xou1xpara0xf

2x1para0xf

h) xpara0xf

i) xpara0xf

j)

2xpara0xf

3xpara0xf

33) c > 4

34) a)

2

419xou

2

419x|xS

b) 6x0|xS

c) 2xou2x|xS

d) 6x|xS


e)

2

51x

2

51|xS

f)

2

1S

g) 1m|mS

h) S = Ø

i) 4S

j)

2

1kou

3

1k|kS

k) S = Ø

35) a) 35ºC b) -1ºC c) t = 6 s d) 2 segundos e) 1 < t < 11

36) a)

4xou2

1x|xS 185

b)

5

1x0ou1x|xS

c) 0x1ou2x|xS

d)

}5x2

3ou1x1

ou2x|x{S

e)

}1xou1x4

1

ou2

1x|x{S

f)

}3xou1x2ou

5x|x{S

37) a) 2x1|xS

b) 1xou0xou1x|xS

38) a) x = 0 ou x = 1

b) 1x2

2ou0x

2

2

39) a) 1xou3

1xou

2

1x

b) 2

1xou

3

1x1ou1x

40) a) 1x0|xS

b) 9xou3x|xS

41) a) 4xou1x|xS

b) S = Ø

c)

1x2

1|xS

42) a) -2 < x <0

b) x -1 ou x ≥ 2

43) m ≥ 4

44)

45)


REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

MACHADO, Antônio dos Santos;

Matemática, Temas e Metas. São Paulo,

Atual, 1988.

IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos

da Matemática Elementar, Volume 1. São

Paulo, Atual, 5ª edição, 1977.

RUBIÓ, Angel Pandés; Matemática e

suas tecnologias; Volume 1. São Paulo, IBEP,

2005.

PAIVA, Manoel; Matemática; Volume 1.

São Paulo, Moderna, 1995.

Links para os vídeos sugeridos:

Pág. 30

http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/

coef-a-b-c-grafico/

Pág. 31

http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/

est-sinal-f2g/

Demonstração indicada na página 11. Vértice Considere o gráfico abaixo da função f(x) = ax2 + bx + c.

A parábola corta o eixo vertical no ponto P, podemos então dizer que f(0) = c. Sendo PQ um segmento de reta paralelo ao eixo horizontal, temos, para o ponto Q, a coordenadas (k, c). Desta forma podemos obter a abscissa de Q:

a

bk

bak

0bakou0k

0bakk

0bkak

ccbkak

cbxaxxfec)k(f

2

2

2

Observando o gráfico vemos que k = 0 é a abscissa do ponto P, logo a abscissa

de Q é a

b .

Devido à simetria da parábola, podemos determinar a abscissa de V como sendo a média aritmética entre as abscissas de P e Q, assim:

a2

bx

2

0a

b

x

v

v

Para determinar a ordenada do vértice, basta substituir determinar f(xv).


a

acbxf

a

acbaxf

a

caabxf

a

caababxf

ca

b

a

abxf

ca

bb

a

baxf

v

v

v

v

av

v

4

4

4

4

4

4

4

42

24

22

2

2

2

2

22

2

222

22

2

a

xf

acbcomo

v4

42

Assim, temos que as coordenadas do

vértice da parábola, são 𝑉 = (−𝑏

2𝑎; −

∆

4𝑎)

Demonstração indicada na página 29 Eixo de simetria Os pontos de uma reta vertical que passa pelo vértice de uma parábola obedecem

à equação a2

bx pois todos os pontos têm

abscissa a

b

2 .

Para provarmos que a parábola tem um

eixo de simetria, na reta a2

bx devemos

mostrar que se o ponto

1y,k

a2

bA

pertence ao gráfico, então o ponto

1y,k

a2

bB também pertence.

Vamos considerar a função

cbxaxxf 2 na sua forma

2

2

a4a2

bxaxf

e também que o ponto

1y,k

a2

bA

pertence a f(x), assim,

ka2

bf

a4a2

bk

a2

ba

a4ka

a4ka

a4a2

bk

a2

bayk

a2

bf

a4a2

bxaxf

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

logo, podemos ver que o ponto

1y,k

a2

bB

também pertence ao gráfico.

DEFINIÇÃOvidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-content/uploads/sites/12/2016/06... · MATEMÁTICA I 3...

Documents

Transcript of DEFINIÇÃOvidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-content/uploads/sites/12/2016/06... · MATEMÁTICA I 3...