Solucao Lista de Aplicação Módulo 1 - 2º2013.pdf

download Solucao Lista de Aplicação Módulo 1 - 2º2013.pdf

of 26

  • date post

    11-Nov-2015
  • Category

    Documents

  • view

    214
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Solucao Lista de Aplicação Módulo 1 - 2º2013.pdf

  • Universidade de BrasliaDepartamento de Matematica

    Calculo 2Lista de Exerccios Modulo 1 Lista 1 Solucao

    1) O objetivo desse exerccio e mostrar que limn!

    nn= 0.

    a) Verifique quen!

    nn=n

    n

    n 1n

    n 2n 3

    n

    2

    n

    1

    n

    b) Usando o item anterior, mostre que 0 1, mostre que

    |rn ||rn1 | 1, segue entao que

    |rn | = rn1rn1

    =

    1

    rn1| rn1|

    1, temos que ax =1

    xpe positiva e decrescente. Pelo teste da integral, a serie

    p-harmonican=1

    1

    npconverge se

    1

    an dn 0. Portanto a serie p-harmonica converge para qualquer p > 1.c) Se 0 < p < 1, temos que ax =

    1

    xpe positiva e decrescente. Pelo teste da integral, a

    serie p-harmonican=1

    1

    npdiverge se

    1

    an dn =.

    Temos que 1

    an dn =

    1

    np dn =[n1p

    1 p]1

    = limn

    (n1p

    1 p 1

    1 p)

    =,

    Pagina 10 de 26

  • onde usamos quelimn

    n1p =,uma vez que 1 p > 0. Por outro lado, se p = 1, temos que

    1

    an dn =

    1

    1

    ndn = [log(n)]1 = limn

    log(n) =.

    Portanto a serie p-harmonica diverge para qualquer 0 < p 1.

    Pagina 11 de 26

  • 3) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.

    a) Se a serie de termos nao-negativosn=0

    (an)2 converge, entao

    n=0

    an tambem converge.

    b) Se an bn e a serien=0

    bn diverge, entao a serien=0

    an diverge.

    c) Se lim n|an| < 1, entao lim an = 0.

    d) Para cada x R, temos que lim xn

    n!= 0.

    e) Se lim

    an+1an = 1, entao

    n=0

    an converge.

    f) Se lim

    an+1an = 1, entao

    n=0

    an diverge.

    Solucao:

    a) Falsa. Basta pensar na serie 2-harmonican=1

    (1

    n

    )2, que converge, enquanto a serie

    harmonican=1

    1

    ndiverge.

    b) Falsa. Temos que1

    n2 1n

    e que a serie harmonican=1

    1

    ndiverge, enquanto a serie

    2-harmonican=1

    1

    n2converge.

    c) Verdadeira. Se lim n|an| < 1, pelo teste da raiz, a serie

    n=0

    |an| converge, de modoque |an| 0 e, portanto, que an 0.

    d) Verdadeira. Temos que

    lim

    1(n+1)!

    |x|n+11n!|x|n = lim

    |x|n+ 1

    = 0,

    Pelo teste da razao,n=0

    |x|nn!

    converge, de modo que|x|nn! 0 e, portanto, que x

    n

    n! 0.

    e) Falsa. Basta pensar na serie harmonican=1

    1

    n, que diverge, enquanto

    lim1

    n+11n

    = limn

    n+ 1= 1.

    f) Falsa. Basta pensar na serie 2-harmonican=1

    1

    n2, que converge, enquanto

    lim

    1(n+1)2

    1n2

    = lim

    (n

    n+ 1

    )2= 1.

    Pagina 12 de 26

  • Universidade de BrasliaDepartamento de Matematica

    Calculo 2Lista de Exerccios Modulo 1 Lista 4 Solucao

    1) O objetivo desse exerccio e descobrir para que valores de x R as series dadas abaixoconvergem, convergem absolutamente ou divergem.

    a) A serien=0

    1

    n!xn.

    b) A seriek=0

    (1)k(2k)!

    x2k.

    c) A seriek=0

    (1)k(2k + 1)!

    x2k+1.

    Solucao:

    a) Aplicando o teste da razao, temos que

    lim

    1

    (n+1)!xn+1

    1n!xn

    = lim n!(n+ 1)!x

    = lim |x|n+ 1 = 0,onde usamos que (n+ 1)! = (n+ 1)n!. Segue que a serie converge absolutamente paratodo x R.

    b) Aplicando o teste da razao, temos que

    lim

    (1)k+1(2(k+1))!

    x2(k+1)

    (1)k(2k)!

    x2k

    = lim (2k)!(2k + 2)!x2

    = lim |x|2(2k + 2)(2k + 1) = 0,onde usamos que (2k + 2)! = (2k + 2)(2k + 1)(2k)!. Segue que a serie convergeabsolutamente para todo x R.

    c) Aplicando o teste da razao, temos que

    lim

    (1)k+1

    (2(k+1)+1)!x2(k+1)+1

    (1)k(2k+1)!

    x2k+1

    = lim(2k + 1)!(2k + 3)!x2

    = lim |x|2(2k + 3)(2k + 2) = 0,onde usamos que (2k + 3)! = (2k + 3)(2k + 2)(2k + 1)!. Segue que a serie convergeabsolutamente para todo x R.

    Pagina 13 de 26

  • 2) O objetivo desse exerccio e apresentar series de potencias que possuem o mesmo raiode convergencia, mas cuja convergencia nos pontos de fronteira do intervalo ocorre demaneira distinta. Verifique as seguintes afirmacoes.

    a) O domnio da serie de potenciasn=0

    xn

    e o intervalo aberto (1, 1) e ela converge absolutamente em todo intervalo aberto(1, 1).

    b) O domnio da serie de potenciasn=1

    1

    nxn

    e o intervalo [1, 1), mas ela converge absolutamente apenas no intervalo aberto(1, 1).

    c) O domnio da serie de potencias

    n=1

    (1)nn

    xn

    e o intervalo (1, 1], mas ela converge absolutamente apenas no intervalo aberto(1, 1).

    d) O domnio da serie de potencias

    k=1

    (1)kk

    x2k

    e o intervalo fechado [1, 1], mas ela converge absolutamente apenas no intervaloaberto (1, 1).

    e) O domnio da serie de potenciasn=1

    1

    n2xn

    e o intervalo fechado [1, 1] e ela converge absolutamente em todo intervalo fechado[1, 1].

    Solucao:

    a) Como

    lim

    xn+1xn = lim |x| = |x|,

    pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x| < 1 ediverge quando |x| > 1. Quando |x| = 1 a serie tambem diverge, uma vez que, nessecaso, o termo geral nao vai pra zero, pois |xn| = |x|n = 1. Portanto o domnio dessaserie de potencias e o intervalo aberto (1, 1) e ela converge absolutamente em todointervalo aberto (1, 1).

    b) Como

    lim

    1n+1xn+11nxn

    =(

    limn

    n+ 1

    )|x| = |x|,

    Pagina 14 de 26

  • pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x| < 1 ediverge quando |x| > 1. Quando x = 1 a serie tambem diverge, uma vez que, nessecaso

    n=1

    1

    n(1)n =

    n=1

    1

    n=.

    Quando x = 1 a serie converge, uma vez que, nesse cason=1

    1

    n(1)n

    e alternada e 1n 0. Mas nao converge absolutamente em x = 1, pois

    n=1

    1n(1)n =

    n=1

    1

    n=.

    Portanto o domnio dessa serie de potencias e o intervalo [1, 1), mas ela convergeabsolutamente apenas no intervalo aberto (1, 1).

    c) Como

    lim

    (1)n+1n+1

    xn+1

    (1)nnxn

    =(

    limn

    n+ 1

    )|x| = |x|,

    pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x| < 1 ediverge quando |x| > 1. Quando x = 1 a serie converge, uma vez que, nesse caso

    n=1

    (1)nn

    e alternada e 1n 0. Mas nao converge absolutamente em x = 1, pois

    n=1

    (1)nn =

    n=1

    1

    n=.

    Quando x = 1 a serie diverge, uma vez que, nesse cason=1

    (1)nn

    (1)n =n=1

    1

    n=.

    Portanto o domnio dessa serie de potencias e o intervalo (1, 1], mas ela convergeabsolutamente apenas no intervalo aberto (1, 1).

    d) Como

    lim

    (1)k+1k+1

    x2(k+1)

    (1)kkx2k

    =(

    limk

    k + 1

    )|x|2 = |x|2,

    pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x|2 < 1e diverge quando |x|2 > 1. Portanto a serie de potencias converge absolutamentequando |x| < 1 e diverge quando |x| > 1. Quando |x| = 1 a serie tambem converge,uma vez que, nesse caso

    k=1

    (1)kk

    x2k =k=1

    (1)k 1k

    e alternada e 1k 0. Mas nao converge absolutamente quando |x| = 1, pois

    k=1

    (1)kk x2k =

    n=1

    1

    k=.

    Pagina 15 de 26

  • Portanto o domnio dessa serie de potencias e o intervalo fechado [1, 1], mas elaconverge absolutamente apenas no intervalo aberto (1, 1).

    e) Como

    lim

    1

    (n+1)2xn+1

    1n2xn

    =(

    limn2

    (n+ 1)2

    )|x| = |x|,

    pelo teste da razao, a serie de potencias converge absolutamente quando |x| < 1 ediverge quando |x| > 1. Quando |x| = 1 a serie tambem converge absolutamente,uma vez que, nesse caso

    n=1

    1n2xn =

    n=1

    1

    n2

  • 3) O objetivo desse exerccio e apresentar algumas series de potencias que naturalmentepossuem raio de convergencia diferente de zero, de um e de infinito.

    a) Considere an a sequencia de Fibonacci. Utilizando o teste da raao, mostre que o raiode convergencia de

    n=1

    anxn

    e igual dado por R = 1/, onde e a razao aurea.

    b) Utilizando o teste da raiz, mostre que o raio de convergencia de

    n=1

    (1 +

    1

    n

    )n2xn

    e igual dado por R = 1/e.

    c) Utilizando o teste da razao, mostre que o raio de convergencia den=1

    nn

    n!xn

    e igual dado por R = 1/e.

    Solucao:

    a) Temos que

    lim

    an+1xn+1anxn = lim an+1an |x| = |x|

    onde usamos que

    liman+1an

    =

    Pelo teste da razao, temos que a serie de potencias converge quando |x| < 1 e divergequando |x| > 1. Ou seja, a serie de potencias converge quando |x| < 1/ e divergequando |x| > 1/, de modo que o raio de convergencia e dado por R = 1/.

    b) Temos que

    lim n

    (

    1 +1

    n

    )n2xn

    = lim((

    1 +1

    n

    )n2|x|n

    ) 1n

    = lim

    (1 +

    1

    n

    )n|x| = e|x|

    onde usamos que

    lim

    (1 +

    1

    n

    )n= e

    Pelo teste da razao, temos que a serie de potencias converge quando e|x| < 1 e divergequando e|x| > 1. Ou seja, a serie de potencias converge quando |x| < 1/e e divergequando |x| > 1/e, de modo que o raio de convergencia e dado por R = 1/e.

    c) Temos que

    lim

    (n+1)n+1

    (n+1)!xn+1

    nn

    n!xn

    = lim (n+ 1)n

    nn|x| = lim

    (1 +

    1

    n

    )n|x| = e|x|

    onde usamos que

    lim

    (1 +

    1

    n

    )n= e