Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Sinais e Sistemas

Conceitos de Sinais e Sistemas;

Representação de Sinais e Sistemas;

Tipos de Sinais:

Sinais contínuos no tempo;

Sinais discretos no tempo;

Sinais Periódicos e Não periódicos, Determinísticos e Aleatórios

Sinais Digitais;

Energia e Potência de Um Sinal;

Transformação da Variável Independente;

Funções Impulso unitário e Degrau unitário.

SINAIS E SISTEMAS – IMPORTÂNCIA

O estudo de sinais e sistemas é assunto

básico para a Engenharia Eletrônica em todos

os níveis e com diversas aplicações;

Serve como base para outras sub-áreas da

Engenharia Elétrica como: PDS, Sistemas de

Comunicações e Sistemas de Automação e

Controle.

1. Conceitos de Sinais e Sistemas

O que é um Sinal ?

“ Um sinal é fortemente definido como uma função de

uma ou mais variáveis, a qual se veicula informações

sobre a natureza de um fenômeno físico”.

Haykin, pg 22.

“ Sinais são representados matematicamente como

funções de uma ou mais variáveis independentes”.

Oppenheim, pg 3.

Conclusão: Um Sinal é . . .

“ Uma função matemática que representa algum

fenômeno físico. Esta função possui uma ou

mais variáveis independentes.”

SINAL UNIDIMENSIONAL - Ex: Sinal da Fala. SINAL MULTIDIMENSIONAL - Ex: Imagem.

Exemplos de Sinais:

Sinal de Voz: relaciona tempo x amplitude

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-2

Exemplos de Sinais:

Imagem Raio-x: posição x intensidade

Exemplos de Sinais:

Imagem Nível de Cinza: posição x

intensidade

Exemplos de Sinais:

Temperatura do Ar: tempo x temperatura

0 5 10 15 20 25 30-5

O que é um Sistema ?

“Um sistema é fortemente definido como uma entidade

que manipula um ou mais Sinais para realizar uma

função, produzindo, assim, novos sinais.”

Haykin, pg. 22

“Um Sistema pode visualizado como um processo em

que Sinais de entrada são transformados pelo Sistema,

resultando em outros Sinais de saída.”

Oppenheim, pg 38.

Conclusão: Um Sistema é . . .

“ Um modelo matemático que transforma um ou mais

Sinais de entrada em um ou mais Sinais de saída.”

“ Um Sistema pode ser representado por Sinais de

entrada xn(t), por Sinais de saída ym(t) e por uma

transformação ou operador H.”

H xn(t) ym(t)

Os Tipos de Sistemas mais comuns são:

Circuitos Elétricos

Sistemas de Comunicação

Sistemas de voz

Sistemas de Controle

etc ...

1. Sinais e Sistemas – Dia a Dia!!!

Os sinais, de uma forma ou de outra, constituem um

ingrediente básico de nossa vida diária!!!

Sinais da Fala, Sinais Visuais (Imagens ou Objetos);

INTERNET - transmitem sinais de informações de

interesse geral, publicidade, jogos, etc...

Batimentos Cardíacos, Pressão Sanguínea, Temperatura

- transmitem sinais/informações que auxiliam em

diagnósticos médicos;

Previsão do Tempo - temperatura, umidade, velocidade e

direção dos ventos permitem prevenir situações de risco.

1. Sistema de Comunicação

Existem 3 elementos básicos num Sistema de

Comunicação: o transmissor, o canal e o receptor

Transmissor

Sinal de Mensagem Sinal Transmitido

Sinal Recebido

Receptor

Estimativa do Sinal da Mensagem

Ruídos ou Perturbações Reconstruir o sinal

2. Sistema de Controle

Existem 02 aspectos importantes a serem observados num

Sistema de Controle: a resposta e a robustez.

Entrada Saída

Sinal de erro

Sinal de Realimentação F.T de Realimentação

Planta

2. Representação de Sinais e Sistemas

Os Sinais podem ser representados por

funções, visualizados graficamente.

Veremos que dependendo do tipo de Sinal

que temos no tempo teremos uma

representação diferente.

2. Representação de Sinais e Sistemas

Os Sistemas podem ser representados por

diagramas em blocos (como vimos anteriormente)

ou por modelos matemáticos.

Da mesma forma que os sinais, os sistemas,

dependendo dos tipos de sinais envolvidos, podem

ser representados de maneira diferente. Estas

representações serão vistas na segunda parte.

3. Classificação dos Sinais

Sinais de Tempo Contínuo e Discreto;

Sinais Pares e Ímpares;

Sinais Periódicos e Não Periódicos;

Sinais Determinísticos e Aleatórios;

Sinais de Energia e Potência.

3. Sinais Contínuos no Tempo

Um Sinal é Contínuo no Tempo se estiver definido para

todo o tempo, ou seja, t é uma variável contínua.

A amplitude do sinal pode ou não variar com o tempo.

Um Sinal Contínuo tem a seguinte forma:

Os Sinais Contínuos no Tempo possuem uma

símbologia particular onde o tempo é representado

por parênteses, ou seja:

4. Sinais Discretos no Tempo

Os Sinais Discretos no Tempo estão definidos apenas em

instantes de tempos fixos (números inteiros).

Um sinal x[n] é um sinal discreto no tempo, se é definido

em instantes isolados de n;

A variável que representa o tempo, neste caso, tem somente

valores discretos, os quais são uniformemente espaçados;

Normalmente, é derivado de um sinal de tempo contínuo

fazendo-se uma amostragem do mesmo a uma taxa

uniforme. 21

A forma de um sinal discreto é:

Os Sinais Discretos no Tempo também possuem uma

representação particular onde temos um eixo do

tempo sendo discreto representado por colchetes:

Podemos discretizar o sinal contínuo abaixo. Pegando seu valor em vários tempos específicos iguais. Esses tempos são chamados de Tempo de Amostragem T.

O Sinal discretizado resultante será:

Exercícios

Identifique os seguintes sinais como contínuos e discretos

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.30

2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS

Sinal Par

Diz-se que um sinal de tempo contínuo x(t) ou discreto

x[n] é um sinal Par se ele satisfizer a seguinte condição:

x(-t) = x(t) para todo t.

x[-n] = x[n] para todo n.

Em outras palavras, os sinais pares são simétricos em

relação ao eixo vertical ou origem de tempo;

Exemplos de Sinais Pares

Sinal Ímpar

Diz-se que um sinal de tempo contínuo x(t) ou discreto x[n]

é um sinal Ímpar se ele satisfizer a seguinte condição:

x(-t) = -x(t) para todo t.

x[-n] = -x[n] para todo n.

Em outras palavras, os sinais ímpares são assimétricos em relação à origem de tempo;

Exemplos de Sinais Ímpares

Ex1: Faça os gráficos dos componentes pares e ímpares dos sinais

mostrados a seguir.

1xe txtx )()(

1xo txtx

Ex2: Faça os gráficos dos componentes pares e ímpares dos

sinais mostrados a seguir.

1xe nxnx ][][

1xo nxnx

5. Sinais Periódicos Contínuos

Matematicamente, um sinal x(t) contínuo é

periódico se satisfaz a seguinte condição para todo

t, com T sendo constante positiva:

Sinais periódicos são Sinais que se repetem com o

passar do tempo.

O Menor Intervalo de repetição de um sinal periódico é o

Período T (medido em Segundos). É número de vezes que o sinal

se repete em 1 segundo é chamado freqüência f.

A relação entre f e T é:

A Freqüência é medida em Hz (fórmula acima) ou em radianos

por segundo (fórmula abaixo).

2Frequência angular:

Exemplos de Sinais Periódicos Contínuos, perceba o intervalo de

repetição:

5. Sinais Periódicos Discretos

De forma análoga, um sinal x[n] discreto é

periódico se satisfaz a seguinte condição para todo

n com N sendo inteiro positivo constante:

Também definimos a freqüência e o período como:

O Menor valor do número inteiro N é o Período.

A freqüência, para os sinais periódicos discretos é

medida em radianos e definida como:

Exemplo de Sinais Periódicos Discretos

6. Sinais Não Periódicos Contínuos e Discretos

Os sinais que não satisfazem as condições de periodicidade

são sinais não periódicos. Exemplos:

7. Sinais Determinísticos

njejnx

Sinais Determinísticos e Aleatórios

Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma incerteza com respeito a seu valor em qualquer tempo.

Podem ser modelados por uma função de tempo t conhecida.

8. Sinais Aleatórios

Um sinal aleatório é um sinal que assume valores aleatórios em

qualquer tempo dado e devem ser analisados por modelos

probabilísticos (estatisticamente).

No nosso curso não estudaremos estes sinais!!!

Um exemplo clássico de sinal aleatório é o ruído.

9. Sinais Digitais

Os sinais digitais são sinais que assumem um número finito de

valores. E estão definidos para um número, também finito de

valores de tempo.

Em outras palavras, um sinal digital possui amplitude discreta e

valores de tempo discreto. Ver Exemplo:

9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos

Iremos identificar as diferenças fundamentais entre estes três tipos

de sinais.

Primeiramente, veremos um

Sinal analógico, este possui:

• Tempo Contínuo

• Amplitude Contínua

Sinal Digital

Este seria o Sinal Digital

onde temos:

• Tempo Discreto

• Amplitude Discreta

Sinal Discreto

O Sinal Discreto

onde temos:

• Tempo Discreto

• Amplitude Contínua

Sinal Quantizado

O Sinal Quantizado

onde temos:

• Tempo Contínuo

• Amplitude Discreta

10. Energia e Potência de Sinais

Energia e Potência média associam uma função

constante para cada sinal, o seu cálculo é realizado

por integrais impróprias.

A Energia para Sinais Contínuos e Discretos é:

Sinal Contínuo

Sinal Discreto

Quando temos sinais periódicos a Integral anterior possui

resultado infinito, portanto a Energia é infinita.

OBS: Isso ocorre, também, com sinais aleatórios.

Para esses casos, definimos a Potência média, que é obtida,

para Sinais Contínuos e Discretos por:

Sinal Contínuo

T é o período

Sinal Discreto N é o período

ATENÇÃO: Quando temos sinais não periódicos devemos

calcular a potência através da fórmula:

Sinal Contínuo

Sinal Discreto

Sinais de Energia e Potência Um sinal é chamado de Sinal de Energia se e somente se, a energia

total do sinal satisfizer a condição:

Um sinal é chamado de Sinal de Potência se e somente se, a

potência média do sinal satisfizer a condição:

Sinal de Energia Potência Média Zero. ◦ Ex: Sinais Determinísticos e Não-Periódicos.

Sinal de Potência Energia Infinita. ◦ Ex: Sinais Periódicos e Aleatórios.

• Ex1) Determine se os seguinte sinal é de energia, de

potência ou nenhum dos dois.

0a ),()( tuetx at

adtedttx at

Sinal de Energia

11. Transformações da Variável

Os Sinais podem ser manipulados com

algumas operações em suas variáveis.

Em um Sinal possuímos: Variáveis

Independentes e Variáveis Dependentes.

11. Transformações da Variável Independente

Para o Sinal x(t) = sin(2t) temos que:

x(t) : variável dependente

t : variável independente

-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5

1.5x(t)

11. Transformações na Variável

Para realizarmos operações na variável dependente

temos que operar com x(t) e;

Para realizarmos operações na variável

independente temos que operar com t. De forma

análoga, se o sinal for discreto devemos operar n.

A seguir verificaremos as operações mais usuais.

11. Transformações da Variável Dependente

Operações na variável dependente: x(t) e x[n]

Multiplicação por escalar: consiste em aumentar ou

diminuir o tamanho do sinal. Esta operação é

definida como:

txa nxa

Para x(t) contínuo Para x[n] discreto

Operações na variável dependente: x(t) e x[n]

Adição e Multiplicação: consiste na soma ou multiplicação

de, usualmente, dois sinais. Estas operações são definidas

txtx 21

nxnx 21

Operações na variável dependente: x(t)

Diferenciação e Integração: consiste em derivar ou integrar

o sinal em questão. Essa operação é definida como:

Derivada

Integral

Exercício 1 (Schaum)

Exercício – Solução (1.4 – Schaum)

Exercício 2 (Prova 2008)

Considerando os sinais de tempo contínuo x1(t) e x2(t), mostrados nas

figuras abaixo, realize a seguinte operação de transformação de variáveis:

a) x1(t)+x2(t)

Operações na variável independente: t e n

Multiplicação por escalar: consiste na expansão (0 < a < 1)

ou compressão (a >1) do eixo do tempo, para sinais

contínuos. Para sinais discretos usamos valores inteiros.

atx knx

Para x(t) contínuo

0 < a < 1 expansão

a >1 contração

Para x[n] discreto

k é inteiro

1. Mudança de Escala de Tempo

Seja x(t) um sinal de tempo contínuo. O sinal y(t) é obtido pela

mudança de escala da variável independente, tempo t, por um

fator a.

Se a > 1 : y(t) é uma versão comprimida de x(t);

Se 0 < a < 1 : y(t) é uma versão expandida (estendida) de x(t).

)()( atxty

Exercício (Multiplicação por escalar) – Sinal Discreto

Seja x[n] um sinal de tempo discreto. O sinal y[n] é obtido pela

mudança de escala da variável independente, tempo n, por um

fator a=2: y[n] = x[2n]

Deslocamento: consiste em deslocar o eixo t para a direita

se temos -a ou para a esquerda se temos +a. Para sinais

discretos usamos valores inteiros positivos e negativos. Esta

operação e definida por:

Para x(t) contínuo

-a desl. Direita

+a desl. Esquerda

Para x[n] discreto

-k desl. Direita

+k desl. Esquerda 64

Método Prático: Considere o sinal x(t) queremos x(t+2)

-2 -1 0 1 2 3 t(ant)

Método Prático: Considere o sinal x(t) queremos x(t+2)

-2 -1 0 1 2 3 t(novo)

x(t+2)

t(novo)= t(ant)-2

-2 -1 0 1 2 3 t(ant)

Método Prático: Conclusão

Operação Novo Gráfico, como calcular t x(t+2) t(novo)= t(ant)-2

x(t+3) t(novo)= t(ant)-3

x(t-2) t(novo)= t(ant)+2

x(t-3) t(novo)= t(ant)+3

Portanto

x(operação) t(novo)= t(ant)operação inversa

Deslocamento no Tempo

to é o deslocamento de tempo.

Se to > 0, x(t) é deslocada intacta para a direita.

Se to < 0, x(t) é deslocada para a esquerda.

)()( 0ttxty

Exercício (Deslocamento) Seja x[n] um sinal de tempo discreto dado pela expressão abaixo.

Encontre o sinal y[n] = x[n +3]

2n0,n, 0

21,n, 1

1,2n, 1

5n,1n,3-n, 0

54,n, 1

21,n, 1

Reflexão: simetria ou espelho de t ou n. É definida

2. Reflexão

Ex.: Considere o pulso triangular x(t) abaixo. Encontre a

versão refletida de x(t) em relação ao eixo da amplitude.

21 T t e T- t para ,0)( tx

21 T- t e T t para ,0)( ty

Regras das Operações:

Quando as operações ocorrerem simultaneamente,

devemos fazer as execuções na ordem abaixo:

1º Deslocamento no Tempo;

2º Reflexão;

3º Compressão ou Expansão.

Ex1: Um sinal de tempo discreto x[n] é mostrado a seguir.

Faça o gráfico do seguinte sinal:

a) x[-n+2].

Ex2: Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado a seguir.

Faça o gráfico de cada um dos seguintes sinais:

a) x(t -2); d) x(-t)

b) x(2t). e) x(-2t+2)

c) x(t/2)

Ex3: Um sinal de tempo discreto x[n] é mostrado a seguir.

Faça o gráfico de cada um dos seguintes sinais:

a) x[n -2] d) x[-n+2]

b) x[2n] e) x[-2n-2]

c) x[-n]

SINAIS ELEMENTARES

Há diversos sinais elementares que se destacam no estudo de sinais e sistemas;

Servem como blocos de construção para a construção de sinais mais complexos;

Podem ser usados para modelar muitos sinais físicos que ocorrem na natureza;

Sinais exponenciais e senoidais, a função degrau, a função impulso e a função rampa.

12. Função Degrau Unitário

Os tipos de Função Degrau Unitário são:

Função Degrau Unitário de Tempo Discreto;

Função Degrau Unitário de Tempo Contínuo.

SINAIS ELEMENTARES

Função Degrau Unitário

• A função degrau unitária u(t) é definida como:

• Observe que ela é descontínua em t = 0 e que o valor em t = 0 é

indefinido.

0 t1)(0 tu

SINAIS ELEMENTARES

Função Degrau Unitário

• A função degrau unitária deslocada u(t-to) é

definida como

t t1)( ttu

Função Degrau Unitário de Tempo Discreto

A função degrau unitário (Discreta) e seu gráfico

SINAIS ELEMENTARES

Função Degrau Unitário de Tempo Contínuo

A função degrau unitário (Contínua) e seu gráfico

SINAIS ELEMENTARES

13. Função Impulso Unitário

Os tipos de Função Impulso Unitário são:

Função Impulso Unitário de Tempo Discreto;

Função Impulso Unitário de Tempo Contínuo.

Função Impulso Unitário de Tempo Discreto

A definição desta função e o seu gráfico são:

SINAIS ELEMENTARES

Função Impulso Unitário de Tempo Contínuo

A definição desta função e o seu gráfico são:

SINAIS ELEMENTARES

Função Impulso Unitário

• A função impulso unitário δ(t) é conhecida como a

função delta de Dirac, tem um papel central na

análise de sistemas.

SINAIS ELEMENTARES

Função Rampa Unitária

• A função rampa unitária, é definida como

0 t)(1

SINAIS ELEMENTARES

Sinais Exponenciais Complexos

O sinal complexo é um exemplo importante de um

sinal complexo.

• O sinal x(t) é periódico com período

tjetx 0)(

tjsentetx oo

tj cos)( 0

Parte Real Parte Imaginária

SINAIS ELEMENTARES

• Sinais Exponenciais Complexos

Sinal senoidal exponencialmente

crescente.

Sinal senoidal exponencialmente

decrescente.

SINAIS ELEMENTARES

Sinais Exponenciais Reais

Observe que se um número real. Então x(t) se reduz a

um sinal real exponencial

tetx )(

Exponencial crescente. σ>0 Exponencial decrescente. σ<0

SINAIS ELEMENTARES

Sinais Senoidais Um sinal senoidal de tempo contínuo pode ser expresso

)cos()( 0 tAtx

Amplitude real Freqüência (rad/s)

Ângulo (rad)

SINAIS ELEMENTARES

Sinais Senoidais

Período Fundamental

Freqüência Fundamental (Hz)

00 2 f Freqüência Angular Fundamental (Hz)

SINAIS ELEMENTARES

Ex1) Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado abaixo. Faça

o gráfico de cada um dos seguintes sinais:

a) x(t)u(1-t)

1 t1)1( tu

SINAIS ELEMENTARES

b) x(t)[u(t) - u(t-1)]

contrário aso 0

1 t0 1)1()(

FIM – PARTE 01

Sinais e Sistemas - Aulas

Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Documents

Transcript of Aula nº 01 - Sinais e Sistemas

Análise no Domínio do Tempo de Sistemas Discretoses413/aulas/SS-ufpe-aula-04-analise-no-tempo... · Sinais e Sistemas 1-6 Eng. da Computação Tamanho de Sinais Discretos (i) •

Sinais e Sistemas - renatomaia.net · Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas – Fundamentos Renato Dourado Maia . Universidade Estadual de Montes Claros . Engenharia de Sistemas

Notas de Aula de EA614 - Sinais e Sistemas

Sinais e Sistemas

Aula 2 - Controle Digital - Sinais e Sistemas

Sistemas e Sinais (LEIC)

Sinais Sistemas Capitulo Dois

Descrição discreta no tempo de sinais e sistemas · 2016-08-02 · Processamento de sinais digitais Aula 2: ... sequências de entrada e saída do filtro digital. 6 . ... Os sistemas

Aula 14 Sistemas Lineares Sinais Aleatorios

Aula 19 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin.

Aula 01_Introducao a Sinais e Sistemas e Classificacao de Si

Aula 5 Sinais e Sistemas – Capítulo 1 Simon Haykin.

Sinais e Sistemas Lineares - CIn UFPE · 2011. 3. 11. · Sinais e Sistemas 1-6 Eng. da Computação Sinais e Sistemas (iv) • Tipos de Sinais – Sinais contínuos são funções

Aula 8 Sinais e Sistemas – Capítulo 2 Simon Haykin.

Sinais e Sistemas Lineares - cin.ufpe.brcin.ufpe.br/~dmg/SS-ufpe-aula-02-sinais-e-sistemas.pdf · Sinais e Sistemas Eng. da Computação Sinais e Sistemas Lineares Prof. Aluizio Fausto

Aula 1 - Sinais. Conceitos Sinais e sistemas Definições Descrições Representações matemáticas Classificações Sinais Elementares (básicos)

Aula 2 Sinais e Sistemas – Capítulo 1 Simon Haykin.

Sinais e Sistemas Lineares - UFPEdmg/SS-ufpe-aula-02-sinais-e-sistemas.pdf · – Sinais (Lathi): • Um sinal é um conjunto de dados ou informações. Um sinal pode ser função

Oppenheim - Sinais e Sistemas

Sinais e Sistemas - Haykin