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31A U L A

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A funo do 2 grau

Introduo Na aula anterior, estudamos a funo do1 grau (y = ax + by = ax + by = ax + by = ax + by = ax + b) e verificamos que seu grfico uma reta. Nesta aula, vamosestudar outra funo igualmente importante: a funo do 2 grau. Ela repre-sentada pela frmula:

y = axy = axy = axy = axy = ax + bx + c + bx + c + bx + c + bx + c + bx + c

onde as letras aaaaa, bbbbb e ccccc so nmeros conhecidos e aaaaa diferente de zero. Veja algunsexemplos de funes do 2 grau:

y = 2x 3 + 4y = 3x + 9y = xy = x + 6x

O objetivo desta aula investigar os grficos dessas funes, que sosempre uma curva: a parbolaparbolaparbolaparbolaparbola.

Acompanhe os prximos exemplos para ter noo da forma de uma parbola.

EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1

Imagine um forte antigo, com canhes preparados para atirar em naviosinimigos que se aproximassem:

Nossa aula

Acesse: http://fuvestibular.com.br/

P/ as outras apostilas de Matemtica, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/

31A U L AUm navio se aproxima e um canho d um tiro. A trajetria da bala segue

muito aproximadamente essa curva, chamada parbolaparbolaparbolaparbolaparbola. Se no houvessea resistncia do ar, a bala do canho descreveria exatamente uma parbola.


Um menino, em cima de um muro,rega as plantas com uma man-gueira. Visualizando o jatodgua, voc ter uma idiaclara da forma dessa curva.

A parbola

Os exemplos mostraram, aproximadamente, a forma da parbola. Agora,vamos construir uma delas com maior preciso. Escolhemos ento a funo:

y = y = y = y = y = x x x x x + 6x + 6x + 6x + 6x + 6x

O domnio domnio domnio domnio domnio dessa funo o conjunto de todos os nmeros reais. Vamosatribuir a xxxxx alguns valores e calcular os valores correspondentes de yyyyy. Observe:

se x = 0 ento y = 0 + 6 . 0 = 0se x = 0,5 ento y = 0,5 + 6 . 0,5 = 2,75se x = 1 ento y = 1 + 6 . 1 = 5se x = 1,5 ento y = 1,5 + 6 . 1,5 = 6,75

Esse trabalho continua e nos permite organizar uma tabela com diversos pontos.Mostramos abaixo a tabela correspondente a alguns valores de xxxxx entre 0 e 6 e osvalores calculados para yyyyy. Assinalando no grfico cartesiano cada um dessespontos, voc tem uma primeira idia do comportamento dessa funo. Veja:x y0 00,5 2,751 51,5 6,752 82,5 8,753 93,5 8,754 84,5 6,755 55,5 2,756 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6



31A U L A Para visualizar melhor o grfico da funo y = y = y = y = y = x x x x x + 6x + 6x + 6x + 6x + 6x, podemos aumentar

a nossa tabela para obter mais pontos. O resultado voc v na figura a seguir, quej mostra o grfico da nossa funo entre x = 0x = 0x = 0x = 0x = 0 e x = 6x = 6x = 6x = 6x = 6.

bom lembrar que esse desenho apenas parte do grfico da nossa funo.Para valores de xxxxx menores que 00000 ou maiores que 66666 os valores calculados para y y y y ysero sempre negativos (experimente) e, portanto, o grfico continuar abaixodo eixo dos x x x x x. Veja:

A concavidade

Vamos fazer uma outra experincia para observar a parbola em uma outraposio. Tomemos como exemplo a funo:

y = xy = xy = xy = xy = x 2x 2x 2x 2x 2x 3 3 3 3 3

Agora, vamos organizar nossa tabela. Atribumos a xxxxx valores entre 2 e 4e calculamos os valores correspondentes de yyyyy. Voc compreender, um poucomais tarde, a razo da escolha desses valores para xxxxx.

60 x

y

parbola

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6



31A U L ADe qualquer forma, sugerimos que confira nossos clculos, observe a

marcao dos pontos e a construo do grfico:

x y 2 5 1 0 0 3 1 4 2 3 3 0 4 5

Esse grfico tem exatamente a mesma forma daquele que encontramos noexemplo anterior, com uma diferena: est em outra posio.

Dizemos que essa parbola temDizemos que essa parbola temDizemos que essa parbola temDizemos que essa parbola temDizemos que essa parbola tema a a a a concavidade voltada para cimaconcavidade voltada para cimaconcavidade voltada para cimaconcavidade voltada para cimaconcavidade voltada para cima,,,,,

enquanto a do exemplo anterior temenquanto a do exemplo anterior temenquanto a do exemplo anterior temenquanto a do exemplo anterior temenquanto a do exemplo anterior tema a a a a concavidade voltada para baixoconcavidade voltada para baixoconcavidade voltada para baixoconcavidade voltada para baixoconcavidade voltada para baixo.....

Antes de construir o grfico da funo y = axy = axy = axy = axy = ax + bx + c + bx + c + bx + c + bx + c + bx + c, possvel sabercomo ser a sua concavidade. Basta observar o sinal do coeficiente a:a:a:a:a:

l Se a > 0 a > 0 a > 0 a > 0 a > 0 (aaaaa positivo), a concavidade estar voltada para cimapara cimapara cimapara cimapara cima:

l Se a < 0 a < 0 a < 0 a < 0 a < 0 (aaaaa negativo), a concavidade estar voltada para baixopara baixopara baixopara baixopara baixo:

1 2 3 4

3

4

2 1

5

x

y

a < 0concavidade

voltada parabaixo.

a > 0concavidade

voltada para cima.



31A U L A As razes

As razes de uma funo so os pontos onde seu grfico corta o eixo dos xxxxx.Na funo do 2 grau y = axy = axy = axy = axy = ax + bx + c + bx + c + bx + c + bx + c + bx + c, se y = 0y = 0y = 0y = 0y = 0 obtemos a equao

axaxaxaxax + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0. Podemos, ento, ter trs casos:

l A equao tem duas razesduas razesduas razesduas razesduas razesdiferentesdiferentesdiferentesdiferentesdiferentes. A parbola,ento, corta o eixo dos xxxxx emdois pontos distintos.

l A equao tem apenas umaumaumaumaumaraizraizraizraizraiz. A parbola , ento,tangentetangentetangentetangentetangente ao eixo dos xxxxx.

l A equao no tem raizno tem raizno tem raizno tem raizno tem raiz.A parbola, ento, no no no no no cortao eixo dos x x x x x.


Tomemos como exemplo a funo:

y = xy = xy = xy = xy = x 6x + 8 6x + 8 6x + 8 6x + 8 6x + 8

Para construir seu grfico assinalando poucos pontos, devemos inicial-mente verificar se a funo possui razes. Vamos ento resolver a equaox 6x + 8 = 0 usando a frmula que aprendemos na Aula 25:

As razes da nossa funo so, portanto:

x1 =6 - 2

2=

42= 2

x2 =6 + 2

2=

82= 4

x1 = 2

x2 = 4

fig A: a funotem duas razes:

x e x .1 2

x1 x2 x

fig B: a funotem uma nica raiz:

x .1

xx1

fig C: a funono tem razes.

x

=

x = - (- 6) (- 6) - 4 . 1 . 8 2. 1

x = 6 36 - 32 6 4 6 2 2 2 2

=

_

_



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1 2 3 4 5

3

1

x

y

Descobrimos que o grfico da nossa funo corta o eixo dos x x x x x nos pontosxxxxx11111 = 2= 2= 2= 2= 2 e xxxxx22222 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 e sabemos tambm que a parbola ter concavidade voltadapara cima porque a = 1a = 1a = 1a = 1a = 1 (positivo). Basta, ento, para construir a tabela,atribuir a xxxxx outros valores prximos aos que j temos. muito importanteatribuir a xxxxx o valor x1 + x2

2, porque ele fica bem no meio das razes e vai

determinar o ponto mais baixomais baixomais baixomais baixomais baixo da parbola:

O vrtice

No grfico que acabamos de construir, o ponto V = (3, 1) o vrt ice vrt ice vrt ice vrt ice vrt ice daparbola. Ele o ponto mais baixomais baixomais baixomais baixomais baixo da parbola quando a > 0 a > 0 a > 0 a > 0 a > 0.

No grfico da funo y = y = y = y = y = x x x x x + 6x + 6x + 6x + 6x + 6x, que voc viu no incio da aula,o ponto (3, 9) tambm o v r t i c e v r t i c e v r t i c e v r t i c e v r t i c e da parbola, que fica no ponto maismaismaismaismaisaltoaltoaltoaltoalto do grfico, porque a < 0a < 0a < 0a < 0a < 0:

a > 0

vrtice

a < 0

vrtice

x y1 3

2 0

3 1

4 0

5 3

x1 =

=x1 + x2

2

x2 =

RA

Z

ES

RA

Z

ES

RA

Z

ES

RA

Z

ES

RA

Z

ES



31A U L A Para a construo do grfico de uma funo do 2 grau, o vrt icevrt icevrt icevrt icevrt ice seu

ponto mais importante. possvel encontr-lo de forma bastante simples.Chamando de xxxxxvvvvv a abscissa do vrtice da parbola y = axy = axy = axy = axy = ax + bx + c + bx + c + bx + c + bx + c + bx + c, temos:

xv = -b2a

Alm disso, se a funo possui razes xxxxx11111 e xxxxx22222, podemos encontrar a abscissaabscissaabscissaabscissaabscissado vrticedo vrticedo vrticedo vrticedo vrtice determinando o seu ponto mdio, ou seja:

xv =x1 + x2

2

Esses resultados sero demonstrados no Apndice Apndice Apndice Apndice Apndice, no final da aula, masvoc j pode us-los para construir de forma rpida e eficiente o grfico deuma funo do 2 grau.

A imagem

Como voc j sabe, a imagem imagem imagem imagem imagem de uma funo o conjunto dos valores deyyyyy que correspondem aos valores de xxxxx no domnio. Recorde essa noo observan-do o grfico:

Para determinar a imagem de uma funo do 2 grau (cujo domnio oconjunto de todos os nmeros reais), precisamos conhecer seu vrtice. Se a > 0 a > 0 a > 0 a > 0 a > 0,ento o vrtice o ponto mais baixo mais baixo mais baixo mais baixo mais baixo de seu grfico, e neste caso, a imagem dafuno fica assim:

Observando o gr-fico anterior e chaman-do de yyyyyvvvvv a ordenadaordenadaordenadaordenadaordenada dovrtice da parbola, aimagem ser o conjun-to de todos os valoresde yyyyy tais que y yv .

Se a < 0a < 0a < 0a < 0a < 0, ocorre ocontrrio: a concavi-dade estar voltada pa-ra baixo e a imagemser o conjunto dos n-meros reais tais quey yv .

x1 x2

y1

y2

imagemy < y < y1 2

domniox < x < x1 2

grfico da funo

y1

y

imagemgrfico da funo

x

grfico da funo

grfico da funo

yv



31A U L AEXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4

Consideremos a funo y = xy = xy = xy = xy = x x + 5 x + 5 x + 5 x + 5 x + 5.Sabemos que ela tem concavidade voltada para cima, pois a = 1 a = 1 a = 1 a = 1 a = 1.

Para fazer um esboo de seu grfico, determinamos seu vrtice. Primeiro,precisamos encontrar sua abscissa:

Substitumos ento esse valor de x x x x x na funo para encontrar a ordenadado vrtice:

Portanto, o vrtice o ponto (2, 1) e, como a concavidade est voltada paracima, o grfico tem este aspecto:

A imagem da funo ento o conjunto dos valores de yyyyy tais que y y y y y 1 1 1 1 1.

Apndice

Vamos mostrar agora porque a abscissa do vrtice da funo do 2 grau -

b

2a. Observe as transformaes na funo: elas criam um quadrado perfeito:

1

y

imagem

vrtice

x2

y = ax + bx + c

y = ax + bx + b b4a 4a

- + c

y = a

x + bx b a 4a

+ c -

b4a

y = a x + b 2a

+ 4ac - b 4a

+

x = - b2a = -

(- 4) 2 . 1

= 2v

vy = 2 - 4 . 2 + 5 = 1



31A U L A Veja que se aaaaa positivo, sempre positivo ou nulo. Ento, para

obter o ponto mais baixobaixobaixobaixobaixo da parbola, fazemos x + b2a

= 0 , ou seja, x = - b2a

. Paraesse valor de xxxxx, temos y = 4ac - b

2

4a, que chamado de v a l o r m n i m ov a l o r m n i m ov a l o r m n i m ov a l o r m n i m ov a l o r m n i m o da

funo.

Da mesma forma, se aaaaa negativo, sempre negativo ou nulo.Ento, para obter o ponto mais altoaltoaltoaltoalto dessa parbola, fazemos x + b2a = 0 , ouseja, x = - b

2a Para essa valor de x, temos y = 4ac - b

4a

2

que chamado de valorvalorvalorvalorvalorm x i m om x i m om x i m om x i m om x i m o da funo.

Se existem razes xxxxx11111 e xxxxx22222, a abscissa do vrtice da parbola o valorx1 + x22

. De fato, representando por D (delta) o nmero b 4ac temos:

= -b2a

Portanto, a mdia mdia mdia mdia mdia das razes tambm a abscissa do vrtice da parbo-la.

Procure agora fazer os exerccios propostos.

Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Faa o grfico da funo y = x.SugestoSugestoSugestoSugestoSugesto: Organize uma tabela atribuindo a xxxxx os valores 2, 1, 0, 1 e 2.

Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Observe o exemplo e faa um pequeno esboo do grfico das funescalculando o vrtice da parbola e verificando sua concavidade.ExemploExemploExemploExemploExemplo:

y = x 6x + 7

vrtice {

Exerccios

a x + b2a

b2a

a x +

x + x = 1 2 2

(x + x )

12

- b - D -b + D 2a 2a

1 2 =1 2 +

= 1 - b - D - b + D2 2a =

=12

(-2b) 2a

=.

x = - b2a = -

(-6)2 . 1

= 3v

y = 3 - 6 . 3 + 7 = 9 - 18 + 7 = -2v



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a)a)a)a)a) y = x 4x + 5

b)b)b)b)b) y = x + 6x 5

c)c)c)c)c) y = x + 2

Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Faa o grfico das funes determinando as razes e o vrtice da par-bola.

a)a)a)a)a) y = x 4x + 3

b)b)b)b)b) y = x + 8x 12

Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Determine as imagens das funes do Exerccio 3.

Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Faa o grfico e determine a imagem da funo y = (x 3).

3

2

x

y



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