Calculo-técnicas

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Universidade do Estado do Pará - UEPA Professor Msc Francisco Junior Curso Licenciatura em Ciências Naturais com Habilitação em Biologia Disciplina Matemática Aplicada as Ciências Naturais II

PRIMITIVA DE UMA FUNÇÃO Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma função F definida em I, tal que

)()(' xfxF = , para todo ∈x I.

Ex.: 1) 2

21

)( xxF = é a primitiva da função xxf =)( em , pois, para todo x∈ , temos

xxxF =

= '21

)(' 2

Sendo a função F uma primitiva da função f em I, então para toda constante k , kxF +)( também é uma primitiva de f , pois

[ ] )(')( xfkxF =+ . Daí, segue que as primitivas de f em I são as funções da forma kxF +)( , com k constante. Dizemos, então que

kxFy += )( é uma família das primitivas de f em I. O simbolismo usado para representar uma família de primitivas pode ser compreendido pensando-se na diferencial dy como uma “porção infinitesimal” de y e imaginando que y é a soma de todos esses infinitésimos. Leibniz usou uma letra s

estilizada, escrita ∫ , para tais “somatórios”, tal que

∫= dyy deve simbolizar a ideia de que “ y é a soma de todas as suas diferenciais individuais”. Johann Bernoulli, um contemporâneo de Leibniz, sugeriu que o processo de reunir infinitésimos de forma a se ter uma quantidade inteira ou completa, deva ser chamada de integral ao invés de somatório. A ideia de Bernoulli foi aceita, daí o símbolo ∫ é referido como sinal de integral.

∫ += kxFdxxf )()( , onde k é chamada de constante de integração.


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Regras básicas para a integração

a) ( ) )()( xfdxxfdxd

=∫

b) ∫ += kxfdxxf )()('

c) ∫ += kxdx

d) ∫ ++

=+

knx

dxxn

n

1

1

, para 1−≠n e racional.

e) 1x xe dx e kα α

α= +∫ .

f) xxdx sencos =∫

g) ∫ −= xxdx cossen Técnicas de Integração

Como já foi exposto, integrar uma função consiste em determinar uma família de primitivas dessa função. As técnicas de integração são métodos utilizados para a determinação dessas primitivas. As técnicas de integração consistem em “arrumar” o integrando de forma que se possa aplicar alguma das regras de integração. Existem várias técnicas de integração, como por exemplo mudança de variável, integração por partes, integração por frações parciais, substituição trigonométrica e outras.

Destacaremos três dessas técnicas que são mudança de variável, integração por partes e integração por frações parciais. Mudança de Variável Teorema Sejam ℜ→],[: baf e ℜ→],[: dcg , tais que ],[]),([ badcg ⊂ seja diferenciável. Então, temos que

∫∫ =d

c

bg

ag

dssgsgfdssf )('))(()()(

)(

.

Demonstração: Denotemos por F a primitiva de f , então temos pelo Teorema Fundamental do Cálculo que

))(())(()()(

)(

agFbgFdssfbg

ag

−=∫ .


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Daí, aplicado a regra da cadeia, obtemos

)('))(()('))(('))(( sgsgfsgsgFsgFdsd

== ,

de onde segue que ))(( sgF é uma primitiva de )('))(( sgsgf . Aplicando novamente o Teorema Fundamental do Cálculo encontramos que

∫ −=d

c

agFbgFdssgsgf ))(())(()('))(( ,

ou seja,

∫∫ =d

c

bg

ag

dssgsgfdssf )('))(()()(

)(

.

O teorema anterior nos diz que uma integral pode ser simplificada da seguinte forma

∫ ∫=b

a

bg

ag

xgdxgfdxxgxgf)(

)(

))(())(()('))(( .

Podemos chegar a esta expressão denotando )(xgu = , então, diferenciando u , temos dxxgdu )('= . Daí, substituindo na integral anterior, obtemos

∫ ∫=b

a

bg

ag

duufdxxgxgf)(

)(

)()('))(( .

Exemplo 1: Encontre a primitiva das seguintes funções:

a) 232 )2()( −= xxxf b) xexf 3)( =

c) 1)( 2 += xxxf d) xxf 3cos)( =

Exercícios 1) Calcule as seguintes integrais:

a) ∫ + dxxx )1( 43

b) ∫ dxxex 2

c) ∫ + dxxx )1sen( 2

d) ∫ −

−dx

e

xxx33

12


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Integração Por Partes Esta técnica é baseada na fórmula da derivada de um produto

dxdg

fgdxdf

fgdxd

+=)( ,

ou em termos de diferenciais temos

fdggdffgd +=)( , o que implica que

.)( fdgfgdgdf −= Agora, integrado esta última equação obtemos

∫ ∫−= dxfgxgxfgdxf ')()(' .

Utilizamos a técnica de integração por partes frequentemente para calcular integrais

(primitivas) de funções de alguns tipos como

xxxf k cos)( = , xxxf k sen)( = , xexf x cos)( = , xexf x sen)( = , xkexxf =)( . Exemplo: 1ª) Calcule as integrais das seguintes funções: a) xxexf =)( b) xexxf 2)( = c) xxxf cos)( = d) xexf x sen)( = Exercícios 1) Calcule:

a) ∫ xdxx sen2

b) ∫ xdxex cos

c) ∫ dxxe x2


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Integral Definida ou Integral de Riemann A definição da integral definida, também conhecida como integral de Riemann, está motivada pelo cálculo de áreas limitadas por curvas. A ideia é aproximar a área de uma curva através de áreas de retângulos. Assim, obtemos as chamadas somas de Riemann. Estas somas são chamadas de somas superiores quando os retângulos aproximam por excesso a área da curva e de somas inferiores quando os retângulos estão por de baixo da curva. O ínfimo das somas superiores define a integral superior e o supremo das somas inferiores define a integral inferior. Uma função é dita integrável quando a integral superior é igual a integral inferior.

y )(xfy =

Por exemplo, a área delimitada por uma função )(xfy = , acima do eixo x , e o eixo x , com x variando de a até b , pode ter seu valor aproximado pela soma da área de pequenos retângulos inscritos no intervalo ],[ ba , de modo que quanto maior o número de retângulos menor será o erro cometido pela aproximação. Denotemos por ix∆ a base e de

)( ixf a altura de cada retângulo; observe que iii xxx −=∆ +1 . Na medida em que aumentamos o número de pontos ix no intervalo ],[ ba a soma das áreas dos retângulos se aproxima cada vez mais da área da função )(xfy = .

a b x a b x

y y

Soma Inferior Soma Superior

a b x


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Denotemos por nS a soma das áreas dos retângulos inscritos no intervalo ],[ ba , ou seja,

∑=

∆=n

iiin xxfS

1)( ,

esta soma é chamada de Soma de Riemann. Agora, fazendo ∞→n no somatório, isto é,

1lim lim ( )

n

n i in n iS f x x

→∞ →∞=

= ∆∑ ,

obtemos o valor da área da curva definida pela função )(xfy = no intervalo ],[ ba . Indiquemos por

1( ) lim ( )

b n

i in ia

f x dx f x x→∞

=

= ∆∑∫

a integral definida ou integral de Riemann da função )(xfy = no intervalo ],[ ba . Baseado no exposto acima, podemos dar a seguinte definição para integral definida: Sejam f uma função definida no intervalo ],[ ba e P uma partição qualquer de

],[ ba . A integral definida de f de a até b , denotada por

∫b

a

dxxf )( ,

é dada por

0 1( ) lim ( )

b n

i imáx x ia

f x dx f c x∆ →

=

= ∆∑∫ ,

desde que este limite exista.

Se ∫b

a

dxxf )( existe, dizemos que f é integrável em ],[ ba .

Se f é integrável em ],[ ba , então

∫ ∫∫ ==b

a

b

a

b

a

dssfdttfdxxf )()()( ,

ou seja, podemos usar qualquer símbolo para representar a variável independente. Por definição temos

(a) Se a b< , então

∫ ∫−=b

a

a

b

dxxfdxxf )()( ,

se a integral à direita existir.


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(b) Se a b= e )(af existe, então ∫ =a

a

dxxf 0)( .

Propriedades Sejam f e g funções integráveis em [a ,b] e k uma constante. Então (a) gf + é integrável em [a ,b] e

[ ]∫ ∫ ∫+=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()( .

(b) kf é integrável e

( ) ( )b b

a a

kf x dx k f x dx=∫ ∫ .

(c) Se 0)( ≥xf em [a ,b], então

∫ ≥b

a

dxxf 0)(

(d) Se ] [bac ,∈ e f é integrável em [a ,c] e em [c ,b], então

∫ ∫ ∫+=b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()( .

Teorema Fundamental do Cálculo Sejam f uma função integrável em [a ,b] e F uma primitiva de f em [a ,b], então

∫ −=b

a

aFbFdxxf )()()( .

Exemplos: 1ª) Calcule as integrais:

a) ( )∫ +−3

1

3 532 dxxx b) ∫2

13

1 dxx

c) ∫2

0 2cos

π

dxx d) ∫ −1

0

dxe x


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Lista de Exercícios I 1ª) Calcular as seguintes integrais indefinidas:

a) 4

dxx∫

b) 33

16t dtt

+

∫

c) ( )22 3x dx−∫

d) 3x x dx∫

e) 5 5 3 2

2

4 2 5 3x x x x x dxx

− + − + +∫

f) 13

x x dxx

+

∫

g) 122 4 2

tt e sen t dt

− + ∫

2ª) Calcular as integrais definidas:

a) dx∫3

0 21 e) dxxx∫ −+

2

0

2 )54( i) dxxx∫ +4

1

23 2 )2(

b) dx∫4

0

f) dxx∫

−

3

0

4

325 j) dxx∫

4

0

sen

π

c) dxx∫ +5

1

)3( g) dxx∫

−

0

1 52 l) dxe x∫

−

1

1

2

d) dxx∫

3

13

1 h) dxx∫3

0

m) dxx∫−

0

3senπ

n) ( )3

0

2 3sen x dx

π

−∫


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3ª) Calcular as seguintes integrais aplicando mudança de variável:

a) 3 2

2

3 23 6 2x x x dx

x x− +− +∫

b) dxx

x∫

+

55

55

c) dxx∫ + 32

3

d) dxx

x∫

− 221

e) dtt

t∫ + 42 2

f) dxx

x∫

−

21

g) dxxx

x∫

++

+3 2231

34

h) ααα d

aa

∫ cossen

4ª) Calcular as integrais abaixo aplicando integração por partes.

a) dxxx∫ 2sen

b) cos 2x x dx∫

c) ∫ uduu 2sec

d) sen 3y ydy∫

e) ∫ − dxex x2

f) ∫ − tdte t 2sen

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Equações Diferenciais Ordinárias Toda equação cujas incógnitas são funções e que contém pelo menos uma derivada ou diferencial destas funções, denomina-se de equação diferencial. Exemplos 1) ' 2 0y xy− =

2) sendy y xdx

+ =

3) 0xdy ydx− =

4) 2

2

d y y xdx

+ =

5) 2 33 2 4

3 2 41d y d y d yx y y xdx dx dx

− − = +

6) 2 2

2 2 0Z Zx y

∂ ∂+ =

∂ ∂

7) 2ttu a u= ∆

Classificação A função y é denominada de incógnita de uma variável independente x . Quando existe apenas uma variável independente, a equação é denominada ordinária e quando há mais de uma variável independente, a equação diferencial é denominada parcial. Ordem A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem da derivada de mais alta ordem na equação. Grau Supondo-se a equação escrita sob a forma racional inteira em relação ás derivadas, o grau da equação é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação. Exemplos 1) ' 2 0y xy− = (1ª ordem e 1º grau)

2) 2

2

d y y xdx

+ = (2ª ordem e 1º grau)

3) 2 33 2 4

3 2 41d y d y d yx y y xdx dx dx

− − = +

(4ª ordem e 3º grau)

4) 2 2

2 2 0Z Zx y

∂ ∂+ =

∂ ∂ (2ª ordem e 1º grau)

Resolução Resolver ou integrar uma equação diferencial é determinar uma função que, juntamente com suas derivadas, verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis livres que, substituída na equação, transforme-a numa identidade.


Exemplo

( )( )

2

2 1

2 1

2 1

22

dy xdxdy x dx

dy x dx

xy x c

= +

= +

= +

= + +

∫ ∫

Existem vários tipos de solução de uma equação diferencial. a) Solução Geral

É a solução da equação que contém tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades da ordem da equação. Dessa forma, uma equação de 1ª ordem apresenta apenas uma constante arbitrária em sua solução geral. Uma equação de 2ª ordem apresenta duas constantes arbitrárias e assim por diante. b) Solução Particular É a solução da equação deduzida da solução geral, atribuindo-se valores particulares ás constantes arbitrárias. c) Solução Singular É a solução da equação que não pode ser deduzida da solução geral. Sendo assim, apenas alguns tipos de equações apresentam essa solução. Curvas Integrais Geometricamente, a solução de uma equação diferencial representa uma família de curvas que recebem o nome de curvas integrais. Essa solução denomina-se primitiva ou integral da equação diferencial.

2y x x c= + +

2y x c= +

Francisco Junior

Cross-Out

Francisco Junior

Cross-Out


Equações Diferencias de 1ª Ordem e de 1ª Grau A equação diferencial de 1ª ordem de 1º grau tem a forma

( , )dy F x ydx

= ou ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = ,

onde as funções M e N são contínuas em ( ),−∞ +∞ . Equações de Variáveis Separadas Uma equação do tipo 0Mdx Ndy+ = , onde M e N podem ser: a) funções de apenas uma variável b) produtos com fatores de uma só variável c) constantes é denominada equação de variáveis separáveis. Exemplos

1ª) 2 5dy xdx

= −

2ª) ( 1) 0xdx y dy+ − = Exercícios 1ª) Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:

a) 3 12

dy xdx y

−=

−

b) ( ) ( )2 1 0y dx x dy+ − − =


c) 4 0xxdx dyy−

− =

d) cos 0dy y xdx

+ =


Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem Toda equação diferencial das formas

( ) ( )dy p x y q xdx

+ = ou ' ( ) ( )y p x y q x+ =

é chamada de equação linear. Quando ( ) 0q x = , a equação é chamada de homogênea. Sua solução é dada por

( ) ( )( ) ( )

p x dx p x dxy x e e q x dx c

− ∫ ∫= + ∫ .

1ª) Determine a solução geral das equações lineares de 1ª ordem: a) ' 2y xy x+ = Observe que ( ) 2P x x= e ( )Q x x= . Daí, precisamos calcular ( )P x dx∫ e

( ) ( )P x dxQ x e dx∫∫ . Temos

( )2

2

2

22,

P x dx xdx

x

x

=

=

=

∫ ∫

e

( ) ( ) 2

.P x dx xQ x e dx xe dx∫ =∫ ∫

Fazendo uma mudança de variável da forma 2u x= , temos 2du xdx= , ou seja,

2du xdx= . Assim,

( ) ( )

21 ,2

P x dx u

u

duQ x e dx e

e

∫ =

=

∫ ∫

ou seja,

( ) ( ) 212

P x dx xQ x e dx e∫ =∫ .

Daí, a solução geral é 2 2

2

12

1 .2

x x

x

y e e c

y ce

−

−

= +

= +

b) 2dyx y xdx

+ = (Resposta: cy xx

= + )


c) 3xdy y edx

+ = (Resposta: 314

x xy e ce−= + )

Exercícios 1ª) Determine a solução geral das seguintes equações lineares de 1ª ordem:

a) 0dy ydx x

− = Resp.: kyx

=

b) 2dy y xdx x

− = − Resp.: 2 2 lny x x x kx= − +

c) dy y tg x sen xdx

− = Resp.: 2

2sen xy sen x k

= +

d) cot 0dy y xdx x x

+ − = Resp.: ( )1 lny sen x kx = +

2º) Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de 1ª ordem: a) ' 3 0y y+ =

b) 2 0dy xydx

− =

c) ' 3y y x− =

d) 05' =− yy e) 63' =− yy f) xxyy =−2'

g) 44' xy

xy =+

h) xyy sen' =+


Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes Toda equação diferencial das formas

'' ' ( )y ay by f x+ + = ou 2

2 ( )d y dya by f xdx dx

+ + = , (1)

onde a e b são constantes e f é uma função de x , é chamada equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constante. No caso em que ( ) 0f x = , a equação é chamada de homogênea. A solução de uma equação não homogênea, ou seja, ( ) 0f x ≠ , é obtida através da soma das soluções homogênea, hy , e particular, py , isto é, h py y y= + .

A solução da equação homogênea, hy , é obtida através da equação denominada de característica, que é encontrada substituindo ''y por 2r , 'y por r e y por 1 na equação homogênea, '' ' 0y ay by+ + = , onde r são as raízes da equação do 2º grau

2 0r ar b+ + = . Temos três casos possíveis para a solução da equação característica

2 0r ar b+ + = , que são: ( )i 1r e 2r reais e distintos, ou seja, 1 2r r≠ . Neste caso, a solução da equação homogênea é obtida por 1 2

1 2r x r xy C e C e= + , onde 1C e 2C são constantes reais

arbitrárias. ( )ii 1r e 2r reais e iguais, ou seja, 1 2r r= . Neste caso, a solução da equação homogênea é obtida por 1 1

1 2r xr x xy C e C e= + , onde 1C e 2C são constantes reais arbitrárias.

( )iii 1r e 2r são números complexos, da forma 1r iα β= + e 2r iα β= − . Neste caso, a solução da equação homogênea é obtida por ( cos )xy e A x Bsen xα β β= + , onde A e B são constantes reais arbitrárias. Exemplos: 1ª) Determine a solução das seguintes equações homogêneas: a) 02'3" =−+ yyy b) 09" =+ yy c) 6 " ' 0y y y+ − = d) 018'9"2 =−+ yyy

e) 018'4" =++ yyy f) 0'" =++ yyy g) '53" yyy =+

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Determinar a solução da equação homogênea já sabemos. O problema, agora, é como determinar a solução particular. Existem alguns métodos para se determinar a solução particular de uma equação linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e não homogênea, como, por exemplo, o método dos coeficientes a determinar e o método das variações dos parâmetros, também conhecido como método de Lagrange.. Apresentaremos, aqui, o método das variações dos parâmetros que é mais eficiente que o método dos coeficientes a determinar. O método das variações dos parâmetros leva em consideração a solução obtida a partir da equação linear homogênea associada e trata a constante obtida como uma possível função do parâmetro x .

Suponhamos que a solução homogênea seja da forma 1 21 2

r x r xy C e C e= + . Consideremos 1 1( )C u x= e 2 2 ( )C u x= , ou seja, não mais como constantes e sim como funções de x . Suponhamos, agora, que uma solução particular possa ser escrita sob a forma

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )py u x y x u x y x= + ,

com 11( ) r xy x e= e 2

2 ( ) r xy x e= , onde para essa expressão ser solução da equação (1), serão impostas algumas condições sobre 1u e 2u . Estas condições nos levam ao sistema de condicionamento

1 1 2 2

1 1 2 2

' ' 0' ' ' ' ( )

u y u yu y u y f x

+ = + =

.

Para resolver esse sistema, podemos aplicar o método de Cramer. O determinante desse sistema será o Wronskiano das funções 1y e 2y , ou seja,

1 2

1 2' 'y y

y y,

que por hipótese é diferente de zero. Exemplos: 1ª) Determine a solução das seguintes equações diferenciais lineares: a) '' 3 ' 2 xy y y e sen x− + = b) '' 2 xy y xe− =

c) 2

2 4 xd y y edy

− =


Problema de Valor Inicial Em geral, estamos interessados na solução de uma equação diferencial sujeita a determinadas condições prescritas, condições estas que são impostas à solução desconhecida ( )y y x= e as suas derivadas. Em algum intervalo I contendo 0x , o problema

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

10 0 0 1 0 2 0 1

: , , ', '', ''', ,

: , ' , '' , ,

nn

n

nn

d yResolver f x y y y y ydx

Sujeita a y x y y x y y x y y x y

−

−−

=

= = = =

onde 0 1 2 1, , , , ny y y y − são constantes reais especificadas, é chamado de problema de valor inicial PVI. Os valores de ( )y x e suas 1n − derivadas em um único ponto 0x são chamados de condições iniciais. PVI de 1ª Ordem O PVI de 1ª ordem é quando temos

( ): ,dyResolver f x ydx

=

( )0 0:Sujeita a y x y= . (Condições iniciais) Exemplos:

1) ( )' 16 00 2

y yy+ =

= 2) 2 2( 1) ( ) 0, (1) 1.x dx y y dy com y+ + − = = −

Nós estamos interessados apenas nos problemas de valor inicial de equações lineares de 1ª e 2ª ordem. Resolver um PVI linear de 1ª ordem consiste em resolver a equação linear de 1ª ordem e substituir na solução geral a condição inicial para determinar o valor da constante de integração, e em seguida substituir este valor na solução geral. Exemplos: 1ª) Resolva os seguintes PVI lineares de primeira ordem:

a) ( )' 16 00 1

y yy+ =

=

Solução: ( ) 16P x = , logo ( ) 16 16P x dx dx x= =∫ ∫ . Daí, a solução geral é


( ) 16xy x ce= . Agora, da condição inicial temos que quando 0x = , implica que 1.y = Substituindo estes valores na solução geral, obtemos

( ) 16 0

0

0

11 11 .

y ce

cecc

⋅=

== ⋅=

Sendo assim, a solução deste PVI é ( ) 16xy x e= .

b) ( )' 2 , 0 3y xy x com y+ = = − (Resposta: 21 7

2 2xy e−= − )

c) ( )2 , 1 0dyx y x com ydx

+ = = (Resposta: 1 , 0y x para xx

= − < < ∞ )


Alguns Modelos Matemáticos de E.D.O. de 1ª Ordem Em ciências, engenharia, economia e até mesmo em psicologia, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. Essa descrição começa com

(i) Identificando as variáveis que são responsáveis por mudanças do sistema, e (ii) Um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema.

As hipóteses também incluem algumas leis empíricas que são aplicáveis ao sistema. A estrutura matemática de todas essas hipóteses, ou o modelo matemático do sistema, é muitas vezes uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. Esperamos que um modelo matemático razoável do sistema tenha uma solução que seja consistente com o comportamento conhecido do sistema. Problema de Variação de Temperatura Suponhamos que ( )T t denote a temperatura de um corpo no instante t e que a

temperatura do meio ambiente seja constante, igual a mT . Se dtdT representa a taxa de

variação da temperatura do corpo, então a lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante do meio, ou seja,

( )c mdT kdt

T T= − −

dtdT = taxa de variação de temperatura

cT = temperatura inicial do corpo

mT = temperatura do meio k = constante positiva de proporcionalidade t = tempo Problema de Crescimento e Decrescimento O problema de valor inicial

dN kNdt

= , 0 0( )x t N= ,

em que k é uma constante de proporcionalidade, ocorre em muitas teorias envolvendo crescimento e decrescimento. A constante de proporcionalidade k pode ser positiva ou negativa.

dtdN = taxa de variação da quantidade de substância ou população

)(tN = quantidade substância ou população k = constante de proporcionalidade


t = tempo Meia-Vida Em física, a meia-vida é uma medida da estabilidade de uma substância radioativa. A meia-vida é simplesmente o tempo necessário para a metade dos átomos em uma quantidade inicial 0N desintegrar-se ou transformar-se em átomos de um outro elemento. Quanto maior for a meia-vida de uma substância, mais estável ela será. Por exemplo, a meia-vida do rádio altamente radioativo, Ra-226, é mais ou menos 1.700 anos, ou seja, em 1.700 anos a metade de uma dada quantidade de Ra-226 é transformada em radônio, Rn-222. O isótopo de urânio que ocorre mais frequentemente, U-238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4,5 bilhões de anos. Em cerca de 4,5 bilhões de anos a metade de uma certa quantidade 0N de U-238 é transformada em chumbo, Pb-206. Datação Por Carbono Por volta de 1950, o químico Willard Libby inventou um método de usar o carbono radioativo como um meio para determinar a idade aproximada dos fósseis. A teoria da datação por carbono baseia-se no fato de que o isótopo carbono 14 é produzido na atmosfera pela ação da radiação cósmica sobre o nitrogênio. A razão quantidade de C-14 em relação ao carbono comum na atmosfera parece ser uma constante e, consequentemente, a quantidade proporcional de isótopo presente em todos os organismos vivos é a mesma na atmosfera. Quando um organismo morre, a absorção de C-14 por meio da respiração ou alimentação, cessa. Assim, comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos, em um fóssil com a razão constante encontrada na atmosfera, é possível obter uma estimativa razoável da idade do fóssil. O método baseia-se no conhecimento de que a meia-vida do radioativo C-14 é aproximadamente 5.600 anos. Por seu trabalho Libby ganhou o Prêmio Nobel de química em 1960. O método de Libby tem sido usado para datar móveis de madeira em túmulos egípcios, o tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmático sudário de Turim. Queda dos Corpos com Resistência do Ar A equação diferencial para a velocidade v de uma massa m sujeita à resistência do ar proporcional à velocidade instantânea é

dvm mg kvdt

= − ou gvmk

dtdv

=+ ,

onde k é uma constante de proporcionalidade positiva. Lembrado que dtdvmF = , podemos

escrever kvmgF −= .

F = força resultante sobre o corpo g = gravidade v = velocidade do corpo k = constante de proporcionalidade m = massa do corpo kv− = força de resistência do ar


Se 0=k , temos

gdtdv

=

dtdv = taxa de variação da velocidade

Se 0>k , temos

lmgk

v =

lv = velocidade limite Obs: Resistência do ar é proporcional a velocidade Circuitos Elétricos Circuito RL Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor (Circuito RL), a segunda lei de Kirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor ( ( )L di dt ) e no resistor ( )iR é igual à voltagem aplicada no circuito ( )( )E t

Assim, a equação diferencial linear para a corrente ( )i t ,

( )diL Ri E tdt+ = ou di R Ei

dt L L+ = ,

onde ( )i t = quantidade de corrente (em Ampères), R = resistência (em ohms), L =indutância (em henryes) e E = força eletromotriz (em volts).


Circuito RC Já a queda de voltagem em um capacitor com capacitância C é dada por ( )q t C , onde q é a carga no capacitor.

Assim sendo, para este circuito em série, a segunda lei de Kirchhoff nos dá

( )1Ri q E tC

+ = ,

onde a corrente i e a carga q estão relacionadas por dqidt

= . Dessa forma, substituindo i

por dqdt

na equação, obtemos a equação diferencial linear

REq

RCdtdq

=+1 ,

onde q = quantidade de carga (em coulombs), C = capacitância (em fards), R =resistência (em ohms) e E = força eletromotriz (em volts).


Lista de Exercícios II 1ª) Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias: a) 02 =− dyyxdx b) 32' xyy = c) yy 5'=

d) 11

' 4 ++

=yx

y

e) 0=− ydydxex f) 0)61( 5 =−+ dyydxex x

2ª) Resolva os seguintes problemas de valor inicial: a) 2 2( 1) ( ) 0, (1) 1.x dx y y dy com y+ + − = = − b) 0, (0) 2.sen x dx ydy com y+ = = −

c) 2 5( 1) 0, (0) 0.xx e dx y dy com y+ − = =

3ª) Encontre a solução geral das seguintes equações lineares de 1ª ordem: a) 05' =− yy b) 63' =− yy c) xxyy =−2'

d) 44' xy

xy =+

e) xyy sen' =+ 4ª) Resolva os seguintes problemas de valor inicial: a) 1)(,sen' ==+ πycomxyy b) 1)0(,22' 3 ==+ ycomxxyy

c) 0)1(,2

' ==+ ycomxyx

y

d) 5)(,06' ==+ πycomxyy


Lista de Exercícios III 1ª) Determine a solução geral das seguintes equações: a) 02'3" =−+ yyy b) 09" =+ yy c) 0"6 =−+ yyy d) 018'9"2 =−+ yyy e) 018'4" =++ yyy f) 0'" =++ yyy g) '53" yyy =+ h) .0,0')1(" 2 ≠=++− acomayyaay

2ª) Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas: a) xyyy sen22'3" =+− b) xeyyy −=+− 32'3" c) 1284" 2 +−=− xxyy d) xeyy 244" =− e) xeyyy 234'4" =+− f) xyy cos3'4" =+ g) xyy 2cos54" =−

3) Resolva os seguintes problemas de valor inicial: a) 1)0('0)0(;05'2" ===++ yeyyyy b) 1)0('1)0(;06'" ===−− yeyyyy c) 0)0('2)0(;02'2" ===−− yeyyyy d) 0)0('1)0(;cos2'2" ===+− yeytyyy e) 1)0('2)0(;4'2" −===++ − yeyeyyy t f) 1)0('0)0(;sen5'2" ===++ − yeyteyyy t g) 5)0('3)0(;1'" −==+=++ − yeyeyyy t


Lista de Exercícios IV 1ª) Um corpo à temperatura inicial de 50º F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100º F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60º F, determine: a) O tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 75º F; b) A temperatura do corpo após 20 minutos. 2ª) Quando um bolo é tirado do forno, sua temperatura é de 0300 F . Três minuto depois, sua temperatura é 0200 F . Quanto tempo levará para o bolo resfriar até a temperatura ambiente de 070 F . 3ª) Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de 30º F. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é de 0º F e após 20 minutos é de 15º F, determine a temperatura inicial desconhecida. 4ª) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após 1 hora, observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. Determine: a) Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t ; b) O número de núcleos inicialmente existentes na cultura. 5ª)Sabe-se que a população de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas no instante t . Se a população dobrou em 5 anos, quanto tempo levará para triplicar-se? 6ª) A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população presente em um instante t . A população inicial de 500 cresce em 15% em 10 anos. Qual será a população em 30 anos? 7ª) Um reator regenerador converte urânio 238 relativamente estável no isótopo de plutônio 239. Depois de 15 anos determinou-se que 0,043% da quantidade inicial 0N de plutônio desintegrou-se. Ache a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração for proporcional à quantidade remanescente. 8ª) O isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decai a uma taxa proporcional à quantidade presente no instante t e tem uma meia-vida de 3,3 horas. Se houver 1 grama de chumbo inicialmente, quanto tempo levará para que 90% do chumbo decaia? 9ª) Inicialmente, havia 100 miligramas de uma substância radioativa. Após seis horas, a massa decresceu em 3%. Supondo que a taxa de decaimento é proporcional à quantidade de substância no instante t , determine a quantidade remanescente após 24 horas. 10ª) Determine a meia-vida da substância radioativa descrita no problema 9. 11ª) Foi encontrado um osso fossilizado que contém um milésimo da quantidade original de C-14. Determine a idade do fóssil.


12ª) Arqueólogos usaram pedaços de madeira queimada ou carvão encontrados em um sítio para datar pinturas pré-históricas e desenhos nas paredes e no teto de uma caverna em Lascaux, França. Determine a idade aproximada de um pedaço de madeira, se tivesse sido descoberto que 85,5% C-14 havia decaído. 13ª) O sudário de Turim mostra a imagem em negativo do corpo de um homem crucificado, que muitos acreditam ser de Jesus Cristo de Nazaré. Em 1988, o Vaticano deu permissão para datar por carbono o sudário. Três laboratórios científicos e independentes analisaram o tecido e concluíram que o sudário tinha aproximadamente 660 anos, idade consistente com seu aparecimento histórico. Usando essa idade, determine a porcentagem da quantidade original de C-14 remanescente no tecido em 1988. 14ª) Um circuito RL tem força eletromotriz (fem) de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. A corrente inicial é zero. Determine a corrente no circuito no instante t . 15ª) Uma força eletromotriz

( )120, 0 20

0 , 20se t

E tse t

≤ ≤= >

é aplicada a um circuito em série RL no qual a indutância é de 20 henrys e a resistência de 2 ohms. Ache a corrente ( )i t se ( )0 0i = . 16ª) Um circuito RC tem fem (em volts) dada por t2cos400 , resistência de 100 ohms, e capacitância de 210− farad . Inicialmente, não existe carga no capacitor. Determine a corrente no circuito no instante t . Bibliografia

1. GONÇALVES, MÍRIAN BUSS; FLEMMING, DIVA MARÍLIA. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.

2. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5.ed. São Paulo: LTC, 2001. V.1 3. ABUNAHMAN, S. A.. Equações Diferenciais. LTC 4. ZILL, D. G.. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 1 ed. São

Paulo: Pioneira Thomson, 2003.

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